李弘毅机器学习笔记：第二章

回归定义和应用例子
- 回归定义
- 应用举例
模型步骤
- Step 1：模型假设 - 线性模型
- - 一元线性模型（单个特征）
  - 多元线性模型（多个特征）
- Step 2：模型评估 - 损失函数
- - 收集和查看训练数据
  - 如何判断众多模型的好坏
- Step 3：最佳模型 - 梯度下降
- - 如何筛选最优的模型（参数w，b）
  - 梯度下降推演最优模型的过程
  - 梯度下降算法在现实世界中面临的挑战
  - w和b偏微分的计算方法
如何验证训练好的模型的好坏
更强大复杂的模型：1元N次线性模型
过拟合问题出现
步骤优化
- Step1优化：2个input的四个线性模型是合并到一个线性模型中
- Step2优化：如果希望模型更强大表现更好（更多参数，更多input）
- Step3优化：加入正则化
总结

回归定义和应用例子

回归定义

Regression 就是找到一个函数 functionfunctionfunction ，通过输入特征 xxx，输出一个数值 ScalarScalarScalar。

应用举例

股市预测（Stock market forecast）
- 输入：过去10年股票的变动、新闻咨询、公司并购咨询等
- 输出：预测股市明天的平均值
自动驾驶（Self-driving Car）
- 输入：无人车上的各个sensor的数据，例如路况、测出的车距等
- 输出：方向盘的角度
商品推荐（Recommendation）
- 输入：商品A的特性，商品B的特性
- 输出：购买商品B的可能性
Pokemon精灵攻击力预测（Combat Power of a pokemon）：
- 输入：进化前的CP值、物种（Bulbasaur）、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）
- 输出：进化后的CP值

模型步骤

step1：模型假设，选择模型框架（线性模型）
step2：模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
step3：模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）

Step 1：模型假设 - 线性模型

一元线性模型（单个特征）

以一个特征 xcpx_{cp}xcp 为例，线性模型假设 y=b+w⋅xcpy = b + w·x_{cp}y=b+w⋅xcp ，所以 www 和 bbb 可以猜测很多模型：
f1:y=10.0+9.0⋅xcpf2:y=9.8+9.2⋅xcpf3:y=−0.8−1.2⋅xcp⋅⋅⋅f_1: y = 10.0 + 9.0·x_{cp} \\ f_2: y = 9.8 + 9.2·x_{cp} \\ f_3: y = - 0.8 - 1.2·x_{cp} \\ ··· f1:y=10.0+9.0⋅xcpf2:y=9.8+9.2⋅xcpf3:y=−0.8−1.2⋅xcp⋅⋅⋅

虽然可以做出很多假设，但在这个例子中，显然 f3:y=−0.8−1.2⋅xcpf_3: y = - 0.8 - 1.2·x_{cp}f3:y=−0.8−1.2⋅xcp 的假设是不合理的，不能进化后CP值是个负值吧~~

多元线性模型（多个特征）

在实际应用中，输入特征肯定不止 xcpx_{cp}xcp 这一个。例如，进化前的CP值、物种（Bulbasaur）、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）等，特征会有很多。

所以我们假设 线性模型 Linear model：y=b+∑wixiy = b + \sum w_ix_iy=b+∑wixi

xix_ixi：就是各种特征(fetrure) xcp,xhp,xw,xh,⋅⋅⋅x_{cp},x_{hp},x_w,x_h,···xcp,xhp,xw,xh,⋅⋅⋅
wiw_iwi：各个特征的权重 wcp,whp,ww,wh,⋅⋅w_{cp},w_{hp},w_w,w_h,··wcp,whp,ww,wh,⋅⋅
bbb：偏移量

注意：接下来的内容需要看清楚是【单个特征】还是【多个特征】的示例

Step 2：模型评估 - 损失函数

【单个特征】: xcpx_{cp}xcp

收集和查看训练数据

这里定义 x1x^1x1 是进化前的CP值，y^1\hat{y}^1y^1 进化后的CP值，^\hat{}^ 所代表的是真实值

将10组原始数据在二维图中展示，图中的每一个点 (xcpn,y^n)(x_{cp}^n,\hat{y}^n)(xcpn,y^n) 对应着进化前的CP值和进化后的CP值。

如何判断众多模型的好坏

有了这些真实的数据，那我们怎么衡量模型的好坏呢？从数学的角度来讲，我们使用距离。求【进化后的CP值】与【模型预测的CP值】差，来判定模型的好坏。也就是使用损失函数（Loss function）来衡量模型的好坏，统计10组原始数据 (y^n−f(xcpn))2\left ( \hat{y}^n - f(x_{cp}^n) \right )^2(y^n−f(xcpn))2 的和，和越小模型越好。如下图所示：

如果觉得看着这个图会晕，忽略图4，直接看公式推导的过程：

L(f)=∑n=110(y^n−f(xcpn))2，将【f(x)=y】,【y=b+w⋅xcp】代入=∑n=110(y^n−(b+w⋅xcp))2\begin{aligned} L(f) & = \sum_{n=1}^{10}\left ( \hat{y}^n - f(x_{cp}^n) \right )^2，将【f(x) = y】, 【y= b + w·x_{cp}】代入 \\ & = \sum_{n=1}^{10}\left ( \hat{y}^n - (b + w·x_{cp}) \right )^2\\ \end{aligned} L(f)=n=1∑10(y^n−f(xcpn))2，将【f(x)=y】,【y=b+w⋅xcp】代入=n=1∑10(y^n−(b+w⋅xcp))2

最终定义损失函数 Loss function：L(w,b)=∑n=110(y^n−(b+w⋅xcp))2L(w,b)= \sum_{n=1}^{10}\left ( \hat{y}^n - (b + w·x_{cp}) \right )^2L(w,b)=∑n=110(y^n−(b+w⋅xcp))2

我们将 www, bbb 在二维坐标图中展示，如图所示：

图中每一个点代表着一个模型对应的 www 和 bbb
颜色越深代表模型更优

可以与后面的图11（等高线）进行对比

Step 3：最佳模型 - 梯度下降

【单个特征】: xcpx_{cp}xcp

如何筛选最优的模型（参数w，b）

已知损失函数是 L(w,b)=∑n=110(y^n−(b+w⋅xcp))2L(w,b)= \sum_{n=1}^{10}\left ( \hat{y}^n - (b + w·x_{cp}) \right )^2L(w,b)=∑n=110(y^n−(b+w⋅xcp))2 ，需要找到一个令结果最小的 f∗f^*f∗，在实际的场景中，我们遇到的参数肯定不止 www, bbb。

先从最简单的只有一个参数www入手，定义w∗=argmin⁡⁡xL(w)w^* = arg\ \underset{x}{\operatorname{\min}} L(w)w∗=arg xminL(w)

首先在这里引入一个概念学习率：移动的步长，如图7中 η\etaη

步骤1：随机选取一个 w0w^0w0
步骤2：计算微分，也就是当前的斜率，根据斜率来判定移动的方向
- 大于0向右移动（增加www）
- 小于0向左移动（减少www）
步骤3：根据学习率移动
重复步骤2和步骤3，直到找到最低点

步骤1中，我们随机选取一个 w0w^0w0，如图8所示，我们有可能会找到当前的最小值，并不是全局的最小值，这里我们保留这个疑问，后面解决。

解释完单个模型参数www，引入2个模型参数 www 和 bbb ，其实过程是类似的，需要做的是偏微分，过程如图9所示，偏微分的求解结果文章后面会有解释，详细的求解过程自行Google。

整理成一个更简洁的公式：

梯度下降推演最优模型的过程

如果把 www 和 bbb 在图形中展示：

每一条线围成的圈就是等高线，代表损失函数的值，颜色约深的区域代表的损失函数越小
红色的箭头代表等高线的法线方向

梯度下降算法在现实世界中面临的挑战

我们通过梯度下降gradient descent不断更新损失函数的结果，这个结果会越来越小，那这种方法找到的结果是否都是正确的呢？前面提到的当前最优问题外，还有没有其他存在的问题呢？

其实还会有其他的问题：

问题1：当前最优（Stuck at local minima）
问题2：等于0（Stuck at saddle point）
问题3：趋近于0（Very slow at the plateau）

注意：其实在线性模型里面都是一个碗的形状（山谷形状），梯度下降基本上都能找到最优点，但是再其他更复杂的模型里面，就会遇到问题2 和问题3 了

w和b偏微分的计算方法

如何验证训练好的模型的好坏

使用训练集和测试集的平均误差来验证模型的好坏
我们使用将10组原始数据，训练集求得平均误差为31.9，如图所示：

然后再使用10组Pokemons测试模型，测试集求得平均误差为35.0 如图所示：

更强大复杂的模型：1元N次线性模型

在模型上，我们还可以进一部优化，选择更复杂的模型，使用1元2次方程举例，如图17，发现训练集求得平均误差为15.4，测试集的平均误差为18.4

这里我们又提出一个新的问题：是不是能画出直线就是线性模型，各种复杂的曲线就是非线性模型？
其实还是线性模型，因为把 xcp1x_{cp}^1xcp1 = (xcp)2(x_{cp})^2(xcp)2 看作一个特征，那么 y=b+w1⋅xcp+w2⋅xcp1y = b + w_1·x_{cp} + w_2·x_{cp}^1y=b+w1⋅xcp+w2⋅xcp1 其实就是线性模型。

过拟合问题出现

在模型上，我们再可以进一部优化，使用更改次方的模型，如图所示

训练集平均误差【15.4】【15.3】【14.9】【12.8】
测试集平均误差【18.4】【18.1】【28.8】【232.1】

在训练集上面表现更为优秀的模型，为什么在测试集上效果反而变差了？这就是模型在训练集上过拟合的问题。

如图所示，每一个模型结果都是一个集合，5次模型包⊇4次模型⊇3次模型5次模型包 \supseteq 4次模型 \supseteq 3次模型5次模型包⊇4次模型⊇3次模型
所以在4次模型里面找到的最佳模型，肯定不会比5次模型里面找到更差

将错误率结果图形化展示，发现3次方以上的模型，已经出现了过拟合的现象：

步骤优化

输入更多Pokemons数据，相同的起始CP值，但进化后的CP差距竟然是2倍。如图21，其实将Pokemons种类通过颜色区分，就会发现Pokemons种类是隐藏得比较深得特征，不同Pokemons种类影响了进化后的CP值的结果。

Step1优化：2个input的四个线性模型是合并到一个线性模型中

通过对 Pokemons种类判断，将 4个线性模型合并到一个线性模型中

Step2优化：如果希望模型更强大表现更好（更多参数，更多input）

在最开始我们有很多特征，图形化分析特征，将血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）也加入到模型中

更多特征，更多input，数据量没有明显增加，仍旧导致overfitting

Step3优化：加入正则化

更多特征，但是权重 www 可能会使某些特征权值过高，仍旧导致overfitting，所以加入正则化

www 越小，表示 functionfunctionfunction 较平滑的， functionfunctionfunction输出值与输入值相差不大
在很多应用场景中，并不是 www 越小模型越平滑越好，但是经验值告诉我们 www 越小大部分情况下都是好的。
bbb 的值接近于0 ，对曲线平滑是没有影响

总结

Pokemon：原始的CP值极大程度的决定了进化后的CP值，但可能还有其他的一些因素。
Gradient descent：梯度下降的做法；后面会讲到它的理论依据和要点。
Overfitting和Regularization：过拟合和正则化，主要介绍了表象；后面会讲到更多这方面的理论