1.极限——ε-δ定义

对这个函数取极限会很有意思。我先把它画出来，之后我们会做一些练习。

这里要求出 $x$ 趋向于a时，函数的极限是多少。我们把表达式写一下：

$\lim_{x \to a}f(x)$

假设图上这一点是L， $x$ 从任一边趋向a时，比如从左边，这时f(x)趋向于什么。

当 $x$ 在这个绿色箭头，可以看到，f(x)是趋向于L的，如图：

由于我们求极限，必须保证a左右两边的极限都是同一个数。

所以，我们也要从右一边接近 $a$ ，选这个红色的点在这个f(x)的线上，随着 $x$ 越来越接近 $a$ 点，

f(x)趋向于 $L$ ，当 $x$ 趋向于 $a$ 时的极限为 $L$ 。

我想我们已经理解这个定义了。

$\lim_{x \to a}f(x)=L$

但这并不是很实际上相对于极限的概念，这样的说法很不精确。

我目前所说的仅限于 $x$ 趋向于某个数时，f(x)趋近于什么。

所以本文章中，我会尝试介绍一种新的极限的定义。

这种定义比简单的，当 $x$ 趋向某个值，f(x)趋向于什么的定义方式，要精确很多。

新的定义就是：

$\lim_{x \to a}f(x)=L$ 这个式子意义在于，我总是可以给出这个点的一个范围，这里谈到了范围。

我并不是针对整个定义域而言，这里说的范围是像规定这么一段距离。

只要在这范围之内可以保证f(x)的值和 $L$ 的距离，始终不会超过某个给定值。

你们可以不相信我并怀疑f(x)能不能始终位于和 $L$ 相距0.5的范围内。

你们给出的距离是0.5，此时，我必须能找到点a附近的一段范围。

确保f(x)值始终和 $L$ 相距0.5以内，也就是说f(x)始终位于这段范围内，只要 $x$ 位于以a为中心的那段范围，

只要满足你们所给出的范围，那么f(x)肯定能达到你们的要求。

我们画个大图，重新说明一下：

这个式子的意义就是：你给我距 $L$ 的任何一个距离，实际上我们称这段距离为 $\epsilon$ ，与最开始提出的定义相对应。

f(x)与 $L$ 的距离不超过 $\epsilon$ ， $\epsilon$ 可以是任何大于0的实数，所以这里的这段距离就是 $\epsilon$ （\epsilon）。如图：

对于给出的任何 $\epsilon$ 任何实数，这点是 $L + \epsilon$ ，这点是 $L - \epsilon$ 。

极限的 $\epsilon- \delta$ 定义是说，不论 $\delta$ 是多少，总可以在a的附近确定一段范围并称之为 $\delta$ 。如图：

只要在 $a+\delta$ 和 $a-\delta$ 之间。选取一个 $x$ 值，只要 $x$ 位于这段范围就可以保证与 $x$ 相对应的f(x)位于你所给出的范围。

思考一下，你们会觉得有道理！

实质上说，我可以无限接近极限值，只要，我所说的无限接近是指你们可以任意给出一个 $\epsilon$ 值。

通过给出一个需要趋近的点，附近的一段范围f(x)就可以无限接近极限值，

只要是在a附近的这段范围内，选取 $x$ 的值，只要是在这里取一个 $x$ 值，我就可以保证f(x)位于你们所指定的范围。

为了更加具体一点：

假设， $x$ 的位置我们一律换成具体的数字来表示，假设这个是 $L = 2$ ， $a = 1$ 。如图：

也就是求 $x$ 趋向于1时，f(x)的极限是多少？

$\lim_{x \to 1}f(x)=2$

那里的f(x)值是2。你们可以给我任何一个数字。假定你们想用几个具体例子来验证一下，

比如想要f(x)位于距2这点0.5的距离范围内，也就是在1.5和2.5之间。

那么只要 $x$ 选在 $x$ 可以任意接近，但只要 $x$ 选在对于这个函数，假定是在0.9和1.1之间，

那么在这个例子中， $\delta$ 和极限点的距离只有0.1。只要在和1相距0.1范围内选取 $x$ 就可以确保f(x)位于要求的范围。如图：

希望你有初步的理解。现在我用 $\epsilon$ 和 $\delta$ 来给出定义，实际上在课本中见到的就是这种。

下一篇文章开始用这个定义来证明极限。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

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