Separation Axiom 是有条件的 separation：如果

是一个至多仅包含 x 作为自由变元的一阶逻辑集合论语句并且 X 是一个集合，那么存在一个集合 Y，Y 是 X 的子集，并且 Y 中所有元素 y 都满足

，将 Y 记作

。令

为

。显然对于任意的集合 X，

——问题是你的 X 从哪里来的啊？

这个地方的问题在于我们要如何理解集合论的公理。有些公理系统，比如说群公理，又或者，欧氏几何公理，并没有说我们讨论的对象存在：A group is a set, G, together with an operation • (called the group law of G) that combines any two elements a and b to form another element, denoted a • b or ab. To qualify as a group, the set and operation, (G, •), must satisfy four requirements known as the group axioms:[5]

ClosureFor all a,bin G, the result of the operation, a•b, is also in G.b[›]

AssociativityFor all a,band cin G, (a•b) •c=a• (b•c).

Identity elementThere exists an element ein Gsuch that, for every element ain G, the equation e•a=a•e=aholds. Such an element is unique (see below), and thus one speaks of theidentity element.

Inverse elementFor each ain G, there exists an element bin G, commonly denoted a−1(or −a, if the operation is denoted "+"), such that a•b=b•a=e, where eis the identity element.

任何满足这些性质的东西都是群，看上去群存在是很自然的事情，毕竟在有集合的情况下，operation 也可以定义成集合，

是另一个集合——但是如果根本就没有集合呢？所以从这个意义上来说，群论的公理并不是 categorical ，而仅仅是 hypothetical。欧几里得平面几何的五条公理(公设)是：

1 从一点向另一点可以引一条直线。

2 任意线段能无限延伸成一条直线。

3 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4 所有直角都相等。

5 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

这就更加直接了，其中甚至并没有说点存在。(对，我忽略掉了定义，但是定义本身并不是这种性质的判断，任何存在性的东西都不应该写在定义里面)

如果我们把集合论看成是某种数学分支，并且用上述方案去处理，那么类似地，我们不需要断言任何集合存在，而只需要描述集合这种东西，如果存在，那么应该长什么样。对于大多数数学结构来说，有这种强度的描述就足够了。

但是集合论一开始的野心可不仅仅是作为一个简单的数学分支，而是给所有的数学奠基。这就麻烦了——如果你奠基在其上的东西都是一个假言的，甚至是空中楼阁一样的东西，那么数学大厦还会稳定吗？！(想起了古堡和蜘蛛网的笑话 233333)

当然，不加上空集公理本身也不会产生毁灭性的影响，我们需要意识到我们的公理系统到底是用来干什么的。

很多人误以为逻辑系统的公理系统的作用是用来生产逻辑真命题和定理的——这是错误的看法。

逻辑系统和公理系统的作用是用来告诉我们什么是有效的/好的推理。而不仅仅是生产真命题。

在理解了这一点的基础上，我们会发现，虽然很多情况下删掉了空集公理之后我们没有办法做出判断，但是我们的推理效力并没有被严重地削弱，我们依旧可以做出各式各样的推理，只不过现在很多推理都需要加一个前提：如果空集存在。

一开始我以为对于这个问题还有一种处理方式。比如说在 NBG 系统里面，可以认为一条 separation 对应了一个 class。然后沿着你提供的思路推理下去，我们就得到了一个没有任何东西作为其元素的东西。但是我不知道为什么 NBG 里面还是有空集公理：

大概是因为我们如果把 2 丢掉了就不能从 class 里面把 set 区分出来了？

按照评论的补充，我们可以对比两种对于无穷公理的改变。其中

：原话：

第一种变动：

第二种变动：

之前脑子里只有第二种，没想到过第一种。