莱布尼兹的二进制和布尔的全无假定 布尔逻辑之四
莱布尼兹的二进制和布尔的全无假定 布尔逻辑之四
一、莱布尼兹的二进制
智慧这东西真的很神奇，现在人们都已经熟知的数字二进制，史载澳洲和非洲的原始部落，就有这种只用两个数字的计数。这些地方的野蛮人，竟然连屈指计算的能力都没有。也许与人有两只手相关，它们只会使用两个数字。但这类原始计算的限度在六，六以上的数字，这些部落的人计算不了。
但没有料到的是，这种几乎是在象征智力低下的二进制，后来被莱布尼兹发现：它和十进制的数字是可以互相转换的，而且几乎所有的算术运算都可以转换。于是，对这种二进制的思辨就形成了一种哲学，宇宙生成的哲学。
一代表上帝，零代表混沌，上帝由混沌中创造出世界万物，正如这种计数法可以用一和零来表示一切数一样。（见《数 科学的语言》第12页）
莱布尼兹“使用‘一’和源自‘混沌的零’，从而衍生万物”的感叹，表达了这两个数字的神秘和宏伟，这大约发生在17世纪的末期。这个时期，莱布尼兹已经隐约感觉到，数字也能用于一切物事之中，自然也能用在自然语言之中。但在莱布尼兹那个年代，那只是一个感觉而已。
二进制图片
二进制计算举例
二、布尔的指数法则
时光前行100多年，到了19世纪，布尔创立的布尔代数，让这两个数字焕发出生机。用来计数的数字，奇迹般地和自然语言联系起来。数字不仅用来表达世间万物的数量关系，也可以用来表达自然语言当中，语词与语词，语句与语句之间的关系。
我们在布尔逻辑之三中，提到布尔逻辑的七个法则，其中的前六个法则，三个交换律（1，2，6）、两个分配律（3，4），还有一个同增律（5），适合于纯数字的算术计算。布尔增加了一个符号法则（7）指数法则，我们的算术因这个法则的增加而提升了档次。不仅能够用于一般算术的数字，还能够超越数字范围，能够用于任意元素之间的关系了。
布尔这样来刻画这个指数法则（7）：
“两个文字符号x与y，在x*y这样的表达式之中，表达了两个对象类（class of object） ：x类和y类，它们用乘法连接而构成的整体。并且，由x表达的类（class）与y所表达的类（class）又表达的是同样的名称（name）和同样的性质（quality）。由此可以得到的一个结论自然就是，如果这两个符号有完全同样的意义，它们的组合表达式x*y就没有超越x或者y这两个符号单独时所具有的东西。在这种情况下，我们就有：
x*y=x
然而，当y假定和x有完全相同的意义，我们就可以用x来代替y，由此就得到：
x*x=x.
在普通代数中，这个x*x的组合更简洁地被表达为x2，让我们在这里采用同样的符号标记。因为一个表达特殊心理运作过程的模式，是这样一种东西，它本身是相当随意的，和表达一个单一的观念或者运作一样随意（这可以看本书第3章第2节）。依据这样一个符号表达模式，上述等式就可以用以下形式来表达
x2=x，
而事实上，这个法则的表达式，以符号形式表达了名称，性质或者描述语等等东西。“
（布尔《思维法则研究》英文版第31页，引文中的星号*表示乘法，下同）
回过头看莱布尼兹那个普遍语言的设想，他弄出的是一个逻辑加，在其片断2中，他给出了一个公理2来陈述这个逻辑加。
“公理2：A⊕A=A。如果没有什么东西新加进来，那么就没有什么新的结论，或者说这里的重复没有改变任何东西。（因为4个硬币加上另外的4个硬币自然是8个硬币，不是4个硬币，但是4个硬币和已经数过的同样4个硬币相加，那还是4个硬币）”
（刘易斯《符号逻辑概览》英文版第380页）
数学与逻辑的这个历史很是有趣，莱布尼兹的著作好像他去世很久以后才得以出版，估计布尔并没有看过。因此完全有理由推断，布尔是独立地从逻辑乘出发，来构建他的逻辑代数。但两者对于加法和乘法所作的解释，还真有可通之处。这个可通之处就在于，对于乘法和加法而言，如果要用在数字计算以外更为广阔的范围，这两个运算的同名重复并没有给结果增加任何新东西。
现代的逻辑乘
现代的逻辑加
三、布尔的全和无
布尔的指数法则并没有提及莱布尼兹创立的二进制算法，这样的一个法则为什么把布尔代数引进了二进制的算法的呢？我们接着看第三章的第二节。正是在这一章，布尔给出了两个数字0和1，同时，他把这两个数字看作两个类，分别赋予了全和无的涵义。
欧洲大陆人把思维看作是理性的产物，先有共相，然后有个体，由此而有唯理论的哲学。英国人则把思维看作是心理的活动，个体在心灵中触发感觉，然后众多个体的触发，就出现感觉的累加而形成概念，由此而出现所谓唯名论哲学。这里的名就不是实体，实体只有个体，名则是非实体的共相或者概念。
布尔承继的，大概是英国这种认识论。思维由此就成为一个心理过程，而这个心理过程是通过语言符号来表达的，于是我们探讨符号的法则就是间接地探讨了心灵的法则或者思维的法则。
人们在接触到man这个英文语词的时候，心灵的某个运作就启动了，这个运作让心灵指向了men这个语词所表示的意义。由于心灵的这个启动，我们常常会把对这个符号的感知导向它可能指向的个体。于是我们就有了一个数学术语，据说是由英国人德摩根创立的。这个数学术语，称作论域（universe），表示你在使用符号话语时，你这个话语所涵盖的范围。这个术语现在也是逻辑学中的一个专业术语，和数学中的含意差不多。而所谓论域，从逻辑的角度看，那就是你说到一个符号时，这个符号当中包含的所有对象的外延，这里的所谓对象，也就是一个一个的个体，也就是men这个语词它到底要包含多少个个体。
布尔在这里使用的论域，显然就是指称men这个语词的全部外延。对men这个语词，我们当然可以往上提升，把它作为一个子类来进行操作。自然也可以往下选择，那自然是下降到个体。并且，除了某个符号自身的操作，还有一个符号与另一些符号之间的一些操作。这样的心灵操作行为，反映到数学和逻辑领域，那就是在进行运算或者进行推理。
最基本的运算，当然是算术运算。而最基本的推理，自然是三段论推理。布尔似乎感觉到，算术当中的一些东西，大概可以运用到使用自然语言所进行的那些推理当中。
这样的一个思考，把算术引入逻辑的思考，在有了指数法则的基础之后，很快就有了思路。那就是《思维法则研究》第3章第二节引入的1和0两个数字符号，如果我们的逻辑系统只限定在数字1和0这两个符号的范围之内，前面提到的7个符号法则就全都管用，一个新的数学和逻辑系统，就这么产生了。
布尔先通过公式（1）0*y=0，引入数字0，他把这个公式看作是一个形式法则。在引入0符号的同时，他同时也引入了匹配于0和1的两个数学逻辑术语。其中的一个就是我们刚才提到的论域（universe），它和数字1相匹配。其中的另一个术语，则是与数字0相匹配的无（nothing）。显然，这里的universe翻译为论域已经不太合适，我将其翻译为与“无“对应的”全“，这正好就是布尔对应于1与0的全类与无类假定。
“（1）这个形式法则也许在逻辑系统中被遵守，我们必须给这个符号0做出一些解释，由0y所表达的这个类（class），也许就等同于用0来表达的那个类（class），而无论那个y可能是个什么东西。一个小小的考虑将显示，如果符号0表达了无，这个条件就被满足。依据前述定义，我们可以将这个词项‘无’看作为一个类。事实上，‘无’（nothing）和‘全’（universe）是所有类的外延的两个限度，因为它们是一般词项给以可能解释的限度。再也没有什么类别可以小于‘无’这个类别，无就是最小。或者说，再也没有什么类别可以大于‘全’这个类别，全就是最大。”（布尔《思维法则研究》英文版第49页）
有一个完全对应的‘全’的描述，就无需在这里摘引了。那么，布尔在给出这些基本元素之后，如何来构造他的逻辑，这个逻辑如何影响到后来现代逻辑的进一步发展，且待下文再表。2020/05/23
莱布尼兹的二进制和布尔的全无假定 布尔逻辑之四相关推荐
- 从数学到计算机 从莱布尼兹到冯诺依曼 从数理逻辑到算法分析
https://blog.csdn.net/lanonjj/article/details/51464922 序:从2010年进入大学接触到计算机开始,便不断对其本源好奇,接触得愈久就愈是觉得这门学科 ...
- 莱布尼兹普遍演算的定义注释--逻辑与算法之十八
莱布尼兹普遍演算的定义注释–逻辑与算法之十八 证明完了24个命题,在片断20的最后部分,莱布尼兹对于他的演算中提到的定义和公理给出了一大段注释.首先注释的是片断20给出的定义3,4,5,6. 这非常自 ...
- 牛顿-莱布尼兹公式的几何意义-微分和积分的几何关系
公司办公室上班,工作累了可以跟同事聊聊天,下楼抽根烟,或者仅仅就是出去溜达一圈.然而soho办公却不可能.屋内抽烟是被禁止的,下楼抽烟显得古怪又麻烦- 买了本书,<什么是数学>,就是这本: ...
- 【数学】用C语言实现函数的定积分—— 把 “定积分定义计算出的值” 和 “牛顿-莱布尼兹公式计算出的值” 两者进行误差比较
因为考研数学看到定积分的定义以及"牛顿-莱布尼兹公式" 突然心血来潮,想用C语言把它们实现出来并对比. 1.用 "定积分定义" 计算得出数值 以及 " ...
- 线性代数 --- 三种计算矩阵的行列式的方法之二 莱布尼兹展开法（个人笔记扫描版）
三种计算矩阵的行列式的方法之二 莱布尼兹展开法 在我的个人的线性代数学习中,我分别记录计算矩阵行列式的三种方法,1,LU分解法,2,拉普拉斯展开法,这里我介绍一下第三种方法,莱布尼兹展开法. 行列 ...
- 莱布尼兹懂得超实数吗？
莱布尼兹懂得超实数吗? 古希腊阿基米德教导人们,世界上不存在无穷小量,后人称其为"阿基米德原理". 到了十七世纪,牛顿与莱布尼兹抛弃阿基米德原理,利用无穷小概念创立: 微积分学,后 ...
- 莱布尼兹是微积分奠基人吗？
莱布尼兹是微积分奠基人吗? 本文附件是"History of calculus"中的一段文字,极其清楚地表明:莱布尼兹是微积分奠基人.当之无愧.但是,这个断语与我国现行高等数学教学 ...
- 查阅莱布尼兹档案，为无穷小微积分寻根
自上世纪60年代,出现了公理化无穷小微积分,受到菲氏微积分徒子徒孙的排挤. 作为一套科学的计算系统,微积分(Calculus)是谁发明的?当今,微积分学使用的数学符号是谁提出的?我们需要实事求是,查阅 ...
- 莱布尼兹天才发现，改变人类发展轨迹
当今,世界上没有哪个国家像我们这样科普微积分.事实上,人类如果没有微积分就不会有今天的发展成就,不会有今天的辉煌. 1675年,莱布尼兹从无限细分曲边梯形过程中悟出了两点: (i) ...
最新文章
- 数据中心网络架构 — 云数据中心网络 — 新型叶脊二层网络架构
- python库整理目录
- easy-ui表单校验---针对单个字段，多重校验（有参数校验+无参数检验）
- Java LocalDate类| isLeapYear（）方法与示例
- Eigen官网教程(1) Matrix相关
- Linux常用命令集锦（一）
- CCF NOI1056 表达式
- php中几个操作函数参数的函数func_num_args() func_get_args() func_get_arg($i)php
- GIST特征描述符使用
- 博士申请 | 皇家墨尔本理工大学鲍芝峰教授招收数据挖掘方向全奖博士生
- 下载腾讯视频为mp4格式
- mac上开启隐藏文件
- Python 将一个已知的 utc时间字符串 转换为东八区时间
- ubuntu 修改默认用户名_Ubuntu默认的用户名和密码是什么？
- win10安装MySQL常见问题_win10 安装MySQL过程和遇到的坑
- 关于用单片机操作HC05进入AT模式的小总结
- 20162316刘诚昊 用数组实现循环队列
- “我有技术到哪都是一样的”？年薪40W测试工程师被裁，回怼的这一番话，令人沉思
- grin中pow算法-cuckoo cycle的lean算法简单分析
- 第 02 篇 在 SQL 的世界里一切都是关系