基于python程序利用贪心算法解决旅行家的预算问题

程序已通过检测： https://www.dotcpp.com/oj/problem1640.html

问题描述
　　一个旅行家想驾驶汽车以最少的费用从一个城市到另一个城市（假设出发时油箱是空的）。给定两个城市之间的距离D1、汽车油箱的容量C（以升为单位）、每升汽油能行驶的距离D2、出发点每升汽油价格P和沿途油站数N（N可以为零），油站i离出发点的距离Di、每升汽油价格Pi（i=1，2，……N）。计算结果四舍五入至小数点后两位。如果无法到达目的地，则输出“No Solution”。
输入格式
　　第一行为4个实数D1、C、D2、P与一个非负整数N；
　　接下来N行，每行两个实数Di、Pi。
输出格式
　　如果可以到达目的地，输出一个实数（四舍五入至小数点后两位），表示最小费用；否则输出“No Solution”（不含引号）。
样例输入
275.6 11.9 27.4 2.8 2
102.0 2.9
220.0 2.2
样例输出
26.95

贪心算法：

1、贪心算法，就像它的名字一样，在每个状态都表现出一种贪心的心理，希望得到当前状态的最优策略，一点儿也不想吃亏，不愿从长远上去考虑。显然，这种策略是一种局部的最优解，它可能是整体最优，也可能不是，这类似于数学中的极值一样。不过贪心算法仍是非常有用的，因为它可以简化问题，把一个大问题分解成若干个小问题，降低了问题的复杂度，通过一步一步求解，逐步逼近最终结果，因为每一步都是当前的最优解，而最终得到的结果要么就是整体最优，要么接近整体最优解。

2、理论上来说，要想得到整体最优解，只有遍历所有情况。当要考虑的情况比较多时，我们会借助其它算法减少选择空间。但是如果可选择空间及其复杂时，计算机需要做大量运算，当然耗时也更多。此时，如果我们对结果准确度要求场合不是非常精确的场合，即允许计算结果在一定程度下偏离整体最优解，最优解贪心算法是非常简洁而又高效的。

3、贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。换句话说，贪心算法会一直向前走，不会回头，直到解决问题。

分析问题：

设第i个加油站的加油量为ai(i=0,1,2……N)，设第i个加油站到起点的距离为Di(i=0,1,2……N+1)，设第i个加油站的油价为Pi(i=0,1,2……N+1)，Di和Pi是已知量。旅行家目的是花最少的钱到达终点，也就求ai的组合，一共N+1个变量，显然，这是一个多元线性规划问题。

（1）遍历法

要想到达目的地，且在每一站车上的油量都不超过满油量C,是需要满足一定条件的，即达到当前站的所有加油量，应大于或等于刚好要到达下一站需要的油量，小于或等于刚好到达当前站需要的油量加上满油量C,用公式描述就是

因此每一站的加油量就要满足下面的不等式：

其中，

这样，当旅行家输入Di、Pi、D2、C、N后，a0的范围就已经确定了，当a0的值确定时，a1的范围也就确定了，当a1的值确定时，a2的范围也就确定了，一直循环下去，直到确定aN的值。显然这是一个N+1层的循环嵌套。然而这个程序并不好写，因为N是一个输入的量，输入的N不同，循环层数也就不同，同时下一次的循环范围是和当前ai的取值有关的。笔者水平有限，对递归掌握不深，写了两天也未完成。可以知道的是，这种程序的循环次数非常大，而且随着加油量精度的提高，循环次数以10的N+1次方的量级提升，以样例输入数据为例，当加油量精度为0.1升时，循环次数为616968，精度为0.01升时，循环次数为614219840。有兴趣的可以尝试用递归写一下，或者使用matlab的矩阵运算，不过这似乎意义不太大，因为我们有更好的贪心算法。

（2）贪心法

核心思想就是每次都尽量去更便宜的油站加油，除非在能到达的油站内没有更便宜的油站了。

一共有N个油站，约定Di[0]=0,Pi[N +1]=0，即起点的距离为0，终点的油价为0

假设旅行家当前处于第 i (0=< i <=N)个油站，车上剩余油量为remain，已经花费cost，

先判断满油下能否到达下一站，假如不能达到，得出结论：此问题无解，输出 No Solution。如果能到达，则从当前油站开始，寻找下一个比当前站更便宜的油站，记为k站(k>=i)。i依次加1，只要油价比当前站便宜即找到k站，因为终点的油价为0，所以一定会找到k站，有可能还没到达终点就找到k，也可能k就是终点。找到k站后有两种情况

1、能到达k站

（1）剩油量能去k站>>>直接去k站

（2）剩油量不能去k站>>>加油到刚好去k站

2、不能到达k站（也就是说在能到达的所有站点中，当前站油价最便宜）

（1）加满油去下一站

python实现代码如下：

D1,C,D2,P,N = input().split()
D1 = float(D1)   #两城市间距离
C = float(C)       # 汽车油箱容量
D2 = float(D2)   #每升汽油能行驶的距离
P= float(P)        #出发点每升汽油价格
N = int(N)        #沿途油站数
Di = [0,]     #每个加油站到起点的距离
Pi = [P,]       #每个加油站的油价
a = [ ]        #用来存储在n个加油站的加油量
remain = 0 #剩余油量
cost = 0     #花费油钱
Solution = 0 #问题是否有解的标志，0有解，1无解
full = C * D2
for i in range(N):d,p= input().split()d = float(d)p = float(p)Di.append(d)Pi.append(p)
Di.append(D1)
Pi.append(0)
# 初始化每个加油站的加油量
for k in range(N + 1) : a.append(0)
i = 0
while i <= N :To_next = Di[i + 1] - Di[i]   #当前站点到下一站的距离if   To_next > full  :      #不能够到达下一站Solution = 1breakelse :           #能去下一站k = i + 1while k <= N + 1 :if Pi[i] >= Pi[k] :   #搜索油价小于或等于i站的下一个油站kbreakk += 1To_cheap = Di[k] - Di[i]               #当前站点到k站点的距离if full >= To_cheap :              #能到达k站use_cheap = To_cheap/D2a[i] = use_cheap - remainif  a[i] > 0 :      #剩下的油不能直接到达k站cost += a[i] * Pi[i]remain = 0           else :              #剩下的油能直接到达k站a[i] = 0remain -= use_cheapi = kelse :#不能达到k站  #加满油去下一个站点'''a[i] = C - remaincost += a[i] * Pi[i]           remain = C - To_next/D2       i += 1
if Solution == 0:print('%.2f'% cost)
else :print('No Solution')
##    print(a)  #打印每个油站的加油量

测试结果如下：

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