CSR完全空间随机性最近邻距离分布理论（上）

一、完全空间随机性

满足以下两个假设条件的空间点模式，称为完全空间随机性（CSR–Complete space randomness ）：
（1）面积为|A|的平面区域A中的事件数量服从均为为 λλ\lambda|A|的泊松分布（λλ\lambda表示强度，每个单区域内的事件数量）；
（2）假设区域|A|中的N个事件为xixix_i，那么xixix_i是一个区域A上均匀分布的独立随机样本。
通过（1），CSR可推断出事件的强度在平面上并不发生变化，由（2）CSR可推断出事件之间并没有内在的相互影响。

二、CSR随机性检验

若不采用图解法，而采用几种互补检验的非正式结合来对CSR进行检验，那么我们要求对显著性做单一评估，此时可假设达到的K阶显著水平（并不一定通过CSR独立检验）表示为 pj:1,...,kpj:1,...,kp_j:1,...,k,并且令pminpminp_\min 作为上述pjpjp_j中的最小值，对应于CSR检验中的最显著检验，则有，在CSR下：

p≤P{pmin≤p}≤kp............(1)p≤P{pmin≤p}≤kp............(1)

p≤P\{p_\min≤p\}≤kp ............(1)结合顺序统计量分布函数分析即： X(1)X(1)X_{(1)} 为最小顺序统计量， X(n)X(n)X_{(n)} 为最大顺序统计量，同时 F(1)(x)F(1)(x)F_{(1)}{(x)}、 F(n)(x)F(n)(x)F_{(n)}{(x)}分别表示随机变量 X(1)X(1)X_{(1)} 、 X(n)X(n)X_{(n)} 的分布函数，则对任意的实数x，则有：

F(n)(x)=P(X(n)≤x)=P(X(1)≤x,...,X(n)≤x)=∏i=1nP(Xi≤x)=∏i=1nP(X≤x)=Fn(x).....(2)F(n)(x)=P(X(n)≤x)=P(X(1)≤x,...,X(n)≤x)=∏i=1nP(Xi≤x)=∏i=1nP(X≤x)=Fn(x).....(2)

F_{(n)}{(x)} = P(X_{(n)}≤x)=P(X_{(1)}≤x,...,X_{(n)}≤x)=\prod_{i= 1}^n P(X_{i}≤x)=\prod_{i=1}^n P(X≤x)=F^n(x).....(2)

F(1)(x)=P(X(1)≤x)=1−P(X(1)>x)=1−P(X(1)>x,...,X(n)>x)=1−∏i=1nP(Xi>x)=1−∏i=1nP(X>x)=1−(P(X>x))n=1−(1−F(x))n...........(3)F(1)(x)=P(X(1)≤x)=1−P(X(1)>x)=1−P(X(1)>x,...,X(n)>x)=1−∏i=1nP(Xi>x)=1−∏i=1nP(X>x)=1−(P(X>x))n=1−(1−F(x))n...........(3)

F_{(1)}{(x)} =P(X_{(1)}≤x)=1-P(X_{(1)}>x)=1-P(X_{(1)}>x,...,X_{(n)}>x)=1-\prod_{i=1}^n P(X_{i}>x)=1-\prod_{i= 1}^n P(X>x)=1-(P(X>x))^n=1-(1-F(x))^n...........(3)
所以得到，在CSR下，对于K阶独立检验，（1）式概率严格表达如下：

P{pmin≤p}=1−(1−p)k..........(4)P{pmin≤p}=1−(1−p)k..........(4)

P\{p_\min≤p\}=1-(1-p)^k..........(4)

三、最近邻距离分布

对于区域A中的n个事件，令yiyiy_i 为从第 i 个事件到区域A中最近事件的距离。yiyiy_i被称为“最近邻距离”。
在CSR下，最近邻距离Y的理论分布取决于n和A，因为存在复杂的边界效应，该理论分布是不能用显示的数学形式表达。在CSR下，记|A|为区域A的面积。一个忽略边界效应的粗略估计给出一个事件落在一个特定事件距离小于y的概率为πy2|A|−1πy2|A|−1\pi y^2|A|^{-1}.因为事件是独立分布的，加上参考上述分布函数分析，Y的一个近似分布函数则为：

G(y)=1−(1−πy2|A|−1)n−1G(y)=1−(1−πy2|A|−1)n−1

G(y)=1-(1-\pi y^2|A|^{-1})^{n-1},当n极大的时候，若记 λ=n|A|−1λ=n|A|−1\lambda=n|A|^{-1}，则分布函数可进一步近似为：

G(y)=1−exp−λπy2:y≥0.G(y)=1−exp−λπy2:y≥0.

G(y)=1-exp^{-\lambda\pi y^2}:y≥0. 该步近似参照高数中等价无穷小， x→∞x→∞x\to ∞ 时，（1−λx)x→e−λ（1−λx)x→e−λ（1-{ \lambda\over x})^x → e^{-\lambda}。

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