无论哪种还款方式：

月还款额 = 当月应还本金 + 当月应还利息

当月应还利息 = 上月剩余本金 × 月利率

当月剩余本金 = 上月剩余本金 - 当月还款本金

等额本金还款方式

每次还款的本金相同

当月利息 = 上月剩余本金 × 月利率

记:

借款总额=a

月利率=r

借款期数=t

则

月还本金mp = a/t

第i次还款的计息本金 = a - (i - 1)a/t = a(t - i + 1)/t，i取值为1...n

月还利息mi = ar(t - i + 1)/t

总利息 = m1 + ... + mn = ar(t + ... + 1) = ar(t + 1)/2

等额本息还款方式

每个月的还款额固定，但还款的利息比重逐渐减小，本金的还款额逐月增加

记

借款总额=a

月利率=r

借款期数=t

每月应还本息为=m

则

第1期应还的利息x1 = ar

第1期应还本金p1 = m - ar

第1期剩余本金q1 = a - p1 = a - (m-ar) = a(1 + r) - m

第2期应还的利息x2 = q1r

第2期应还本金p2 = m - x2 = m - q1r

第2期剩余本金q2 = q1 - p2 = q1 - (m - q1r) = q1(1+r) - m = [a(1 + r) - m](1+r) - m = a(1 + r)2 - [1 + (1 + r)]m

第3期应还的利息x3 = q2r

第3期应还本金p3 = m - x3 = m - q2r

第3期剩余本金q3 = q2 - p3 = q2 - (m - q2r) = q2(1+r) - m = {a(1 + r)2 - [1 + (r + 1)]m}(1+r) - m = a(1 + r)3 - [1 + (1 + r) + (1 + r)2]m

猜想

qn = a(1 + r)n -[1 + (1 + r) + (1 + r)2 + ... + (1 + r)n-1]

证明:

第n期应还的利息xn = qn-1r

第n期应还本金pn = m - xn = m - qn-1r

第n期剩余本金qn = qn-1 - pn = qn-1 - (m - qn-1r) = qn-1(1+r) - m

即

qn = qn-1(1 + r) - m    ①

qn-1 = qn-2(1 + r) - m   ②

qn-2 = qn-3(1 + r) - m   ③

...

q3 = q2(1 + r) - m      ④

q2 = q1(1 + r) - m      ⑤

q1 = a(1 +r ) - m       ⑥

②两边同乘以 (1 + r)，③两边同乘以(1 + r)2， .... ⑥两边同乘以(1 + r)n-1，得

qn = qn-1(1 + r) - m

(1 + r)qn-1 = qn-2(1 + r)2 - m(1 + r)

(1 + r)2qn-2 = qn-3(1 + r)3 - m(1 + r)2

...

(1 + r)n-3q3 = q2(1 + r)n-2 - m(1 + r)n-3

(1 + r)n-2q2 = q1(1 + r)n-1 - m(1 + r)n-2

(1 + r)n-1q1 = a(1 +r )n - m(1 + r)n-1

两边相加，得

qn = a(1+r)n - m[1 + (1+r) + (1 + r)2 + .. + (1 + r)n-1]

= a(1+r)n -m(1 - (1+r)n)/(1 - (1+r))

由于qn = 0, 则每月还款本息

m = ar(1 + r)n/[(1 + r)n - 1]

转载于:https://blog.51cto.com/wangzhichao/1751265

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