残点（Residues）

残点的发现

在相位图上，到底是什么导致相位解包裹与路径有关，这个问题其实早有相关研究了，下面稍微列一列。

1987年，Ghiglia, Mastin, Romero等，用‘inconsistencies’来定义导致与路径有关的点，发现这些点具体局限在某些位置或区域，可以通过遍历整个相位图，在每一个2*2pixel的环路中累加包裹相位的相位差来检测出整个相位图中的‘inconsistencies’。

1988年，Goldstein, Zebker, Werner用‘residues’这个术语，也就是残点，来描述inconsistencies。（之所以用‘residues’，应该和复变函数的留数定理有关系，不过我没学过就不是十分清楚了，有相关大神的话也希望给我指点一下。）

至此，就发现了残点是在相位图中导致相位解包裹与路径有关的原因。找到原因，就意味着有办法解决解包裹与路径有关的问题，当然首先还是要看一看怎么去检测出相位图中的残点。

残点的计算

计算残点之前，还是需要先讨论一下，Ghiglia等进一步提出的相位解包裹与路径无关需满足的四个条件

以上4个条件，我认为重点要关注的是第3个，这也是残点计算的需要。相位图中，相位差的环路积分要等于0 ，其实稍微想一想就能理解这个要求，之前讲得Itoh方法，以及拓展到二维相位解包裹的公式还记得吗？我这再放出来一次，

Itoh方法：连续相位可以通过累加截断相位的差值的截断而求得

二维相位解包裹： $\Phi \left( r \right)=\int_{C}{\triangledown \Phi \cdot dr+\Phi \left( {{r}_{0}} \right)}$

把上面的式子里的路径积分，稍微改一改写成环路积分的话，起始点和终点都选择 $r$

$\Phi \left( r \right)=\oint_{C}{\triangledown \Phi \cdot dr+\Phi \left( {r} \right)}$

这很明显，这个环路积分一定要等于0的嘛。

实际上，对于一幅完美的相位图，相位差的环路积分一定是等于0的，且不管选择任何路径都要成立。

那问题来了，假如在一幅相位图中，相位差的环路积分不等于0是否存在呢？答案是存在的，而且这就是所说的残点导致的。

那怎么去计算检测残点就显而易见了，找出相位差环路积分不等于0的地方就对了。但路径选择这么多，怎么找才好呢？那就找最小路径呗。相位图中，最小路径就是一个2*2pixel的小块嘛。所以残点其实不是指一个点或者说一个pixel，而是指一个2*2pixel的小块。解包裹算法为了便于标记残点，这个2*2的方块里，会约定标记左上角的那一像素为残点。

残点就是计算2*2pixel里面相位差的环路积分，具体如下图所示：

且研究还发现，计算这个环路积分，只有3种结果，0，±1（所有相位值都除了2pi）。当charge（环路积分）计算等于0，这是一个正常的位置，等于+1，定义为正残点，等于-1，定义为副残点。

计算出残点，也就是找出了导致解包裹与路径有关的原因了，那解包裹的路径只要躲开这些残点，自然解包裹就和路径无关了，而且能保证解包裹的结果准确，因此也从中发展出了很多相位解包裹算法，例如Goldstein枝切法（Goldstein branch cut）、质量图导向法(quality guide phase unwrapping)、掩膜切割法(mask cut)等。

参考文献：

[1] Ghiglia D C, Pritt M D. Two-dimensional phase unwrapping: theory, algorithms, and software[M]. New York: Wiley, 1998.

声明：本文中的图片、公式等都和作者本人的毕业论文有关，如果抄袭盗用吃亏是你自己哦~实在有需要，这里建议你自己码一下公式，自己做一下相关的图哦亲。作者水平有限，如文中有错，请务必留言指正。如有学习交流需要，也可通过邮箱zhenyuchung@m.scnu.edu.cn联系我，大家一起讨论学习。

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