数值分析-Legendre正交多项式实现函数逼近

数值分析-Legendre正交多项式实现函数逼近

一个定义在区间[-1 1]上的连续函数，我们可以把他展开成勒让德级数，也就是说我们可以通过勒让德级数来逼近一个函数。本文参考用书为丁丽娟程杞元编著的《数值计算方法》第二版，北京理工大学出版社，具体用到的公式见下图。下面还给出matlab相应代码，matlab2016a可以运行，matlab2012也测试成功，matlab2008绿色版测试失败。

%名称：Legendre正交多项式函数逼近
%版本：V2.0C
%日期：2016.11.20
%说明：
% y: 已知函数 (x^2) (二次函数)
% k：逼近已知函数所需项数 (6) (6次逼近)
% x0: 逼近点的x坐标
%备注：解决V1.0T中精度问题（公式6-9）
%作者：冰三点水

function f=Legendre(y,k,x0)

syms t ; %系统变量
P(1:k+1)=t; %Legendre函数初始化
P(1)=1; %第一级初始化 P152-(6-7)
P(2)=t; %第二级初始化 P152-(6-7)
c(1:k+1)=0.0; %正则方程组解初始化
c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym( 't' )) *P(1), t, -1, 1)/2; %正则方程组解1 P157-(6-35)
c(2)=3*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym( 't' )) *P(2), t, -1, 1)/2; %正则方程组解2 P157-(6-35)

f=c(1)+c(2)*t; %逼近多项式初始化 P157-(6-36)

%递推求解
for i=3:k+1
P(i)=((2*i-3)*P(i-1)*t-(i-2)*P(i-2))/(i-1); %递推公式 P153-(6-20)
c(i)=(2*i-1)*int(subs(y,findsym(sym(y)),t)*P(i),t,-1,1)/2; %正则方程组解 P157-(6-35)
f=f+c(i)*P(i); %更新逼近多项式
if (i==k+1)
if (nargin==3) %输入参数个数为三
f=subs(f, 't' ,x0); %输出多项式在x0的值
else
f=vpa(f,4); %对逼近值f 取六位有效数字
end
end
end

% 测试命令1
% f=Legendre('3*x^2+2*x+1',6)
% f=Legendre('3*x^2+2*x+1',6, 0.5)

% 测试命令2
% f=Legendre('x^3-1',6)
% f=Legendre('x^3-1',6, 0.5)

冰三点水

16年12月18于天津

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