20221012 泊松公式

基本设定：

设本体坐标系 O−xyzO-xyzO−xyz 为动坐标系，惯性坐标系 O−pqrO-pqrO−pqr 为静坐标系。

设动坐标系 O−xyzO-xyzO−xyz 的 xxx、yyy、zzz 轴上的单位矢量分别为 i\boldsymbol{i}i、j\boldsymbol{j}j、k\boldsymbol{k}k （注意：这里单位矢量的具体坐标表示是相对于 O−xyzO-xyzO−xyz）。

设在某一给定时刻，旋转角速度为 ω\boldsymbol{\omega}ω，具体定义为 O−xyzO-xyzO−xyz 相对于 O−pqrO-pqrO−pqr 的角速度矢量在 O−pqrO-pqrO−pqr 的投影。

设 i\boldsymbol{i}i 的端点为 AAA，j\boldsymbol{j}j 的端点为 BBB，k\boldsymbol{k}k 的端点为 CCC。

分析过程：

点 AAA 的线速度为 vA=didt\boldsymbol{v}_A=\frac{\text{d} \boldsymbol{i}}{\text{d} t}vA=dtdi

又有vA=ω×i\boldsymbol{v}_A=\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{i}vA=ω×i

因此可知 didt=ω×i\frac{\text{d} \boldsymbol{i}}{\text{d} t}=\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{i}dtdi=ω×i

同时，有 djdt=ω×j,dkdt=ω×k\frac{\text{d} \boldsymbol{j}}{\text{d} t}=\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{j}, \quad\frac{\text{d} \boldsymbol{k}}{\text{d} t}=\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{k}dtdj=ω×j,dtdk=ω×k

这就是泊松公式。

可以证明，惯性坐标系随便选择，泊松公式均成立。

实例：

给定
i=[cos⁡π2t,22sin⁡π2t,22sin⁡π2t]T\boldsymbol{i}=[\operatorname{cos}\frac{\pi}{2}t,~~\frac{\sqrt2}{2}\operatorname{sin}\frac{\pi}{2}t,~~\frac{\sqrt2}{2}\operatorname{sin}\frac{\pi}{2}t]^Ti=[cos2πt, 22sin2πt, 22sin2πt]T相应的角速度矢量是红线 ω=[0,−π22,π22]T\boldsymbol{\omega}=[0,~~-\frac{\pi}{2\sqrt2},~~\frac{\pi}{2\sqrt2}]^Tω=[0, −22π, 22π]T可以得到 didt=[−π2sin⁡π2t,22π2cos⁡π2t,22π2cos⁡π2t]T\frac{\text{d}\boldsymbol{i}}{\text{d} t}=[-\frac{\pi}{2}\operatorname{sin}\frac{\pi}{2}t,~~\frac{\sqrt2}{2}\frac{\pi}{2}\operatorname{cos}\frac{\pi}{2}t,~~\frac{\sqrt2}{2}\frac{\pi}{2}\operatorname{cos}\frac{\pi}{2}t]^Tdtdi=[−2πsin2πt, 222πcos2πt, 222πcos2πt]T以及ω×i=[0−π22−π22π2200π2200][cos⁡π2t22sin⁡π2t22sin⁡π2t]=[−π2sin⁡π2t22π2cos⁡π2t22π2cos⁡π2t]=didt\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{i}=\begin{bmatrix} 0 & -\frac{\pi}{2\sqrt2} & -\frac{\pi}{2\sqrt2} \\ \frac{\pi}{2\sqrt2} & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2\sqrt2} & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \operatorname{cos}\frac{\pi}{2}t\\ \frac{\sqrt2}{2}\operatorname{sin}\frac{\pi}{2}t \\ \frac{\sqrt2}{2}\operatorname{sin}\frac{\pi}{2}t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{\pi}{2}\operatorname{sin}\frac{\pi}{2}t\\ \frac{\sqrt2}{2}\frac{\pi}{2}\operatorname{cos}\frac{\pi}{2}t \\ \frac{\sqrt2}{2}\frac{\pi}{2}\operatorname{cos}\frac{\pi}{2}t \end{bmatrix}=\frac{\text{d}\boldsymbol{i}}{\text{d} t}ω×i=⎣⎡022π22π−22π00−22π00⎦⎤⎣⎡cos2πt22sin2πt22sin2πt⎦⎤=⎣⎡−2πsin2πt222πcos2πt222πcos2πt⎦⎤=dtdi

需要说明的是，上述的 ω\boldsymbol{\omega}ω 和 i\boldsymbol{i}i 都是投影在静坐标系上。

另外，ω\boldsymbol{\omega}ω 和 i\boldsymbol{i}i 也投影到本体坐标系之后，叉乘出来的矢量，是 ω\boldsymbol{\omega}ω 和 i\boldsymbol{i}i 投影在惯性系的叉乘的矢量再投影到本体系的结果。

注：图片来自https://baike.baidu.com/pic/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%85%AC%E5%BC%8F/53690428/1/960a304e251f95cad1c8f2d68344683e6709c93df40a?

推导过程参考《理论力学》支希哲

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