Python解偏微分方程

−∇2u(x)=f(x),xin Ω,(1)-\nabla^{2} u(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { in } \Omega,\qquad(1)−∇2u(x)=f(x),x in Ω,(1)

u(x)=uD(x),xon ∂Ω,(2)u(\boldsymbol{x})=u_{\mathrm{D}}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { on } \partial \Omega,\qquad(2)u(x)=uD(x),x on ∂Ω,(2)

其中，u=u(x)u=u(\boldsymbol{x})u=u(x) 为未知函数，f=f(x)f=f(\boldsymbol{x})f=f(x) 为规定函数，∇2\nabla^{2}∇2 为拉普拉斯算子（常写为 ∇\nabla∇），Ω\OmegaΩ 为空间域，∂Ω\partial \Omega∂Ω 为 Ω\OmegaΩ的边界。泊松问题，包括偏微分方程 −∇2u=f-\nabla^{2} u=f−∇2u=f 和 ∂Ω\partial \Omega∂Ω 上的边界条件 u=uDu=u_{\mathrm{D}}u=uD，是边界值问题的一个例子，在开始使用 FEniCS 解决它之前必须精确说明。

在坐标为 x 和 y 的二维空间中，我们可以写出泊松方程为

−∂2u∂x2−∂2u∂y2=f(x,y),(3)-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f(x, y),\qquad(3)−∂x2∂2u−∂y2∂2u=f(x,y),(3)

未知数 u\boldsymbol{u}u 现在是两个变量的函数，u=u(x,y)u=u(x, y)u=u(x,y)，在二维域 Ω\OmegaΩ 上定义。

泊松方程出现在许多物理环境中，包括热传导、静电、物质扩散、弹性杆的扭曲、无粘性流体流动和水波。此外，该方程出现在更复杂的偏微分方程系统的数值分裂策略中，尤其是 Navier-Stokes 方程。

求解边界值问题包括以下步骤：

有限元变分公式

FEniCS 基于有限元方法，它是 PDE 数值解的通用且高效的数学机器。有限元方法的起点是以变分形式表示的偏微分方程。

将 PDE 转化为变分问题的基本方法是将 PDE 乘以函数 vvv，在域 Ω\OmegaΩ 上对所得方程进行积分，并通过具有二阶导数的部分项进行积分。乘以 PDE 的函数 vvv 称为测试函数。要逼近的未知函数 uuu 称为试验函数。术语试验和测试功能也用于 FEniCS 程序。试验和测试函数属于某些所谓的函数空间，这些函数空间指定了函数的属性

在本例中，我们首先将泊松方程乘以测试函数 vvv 并在 Ω\OmegaΩ 上积分：

−∫Ω(∇2u)vdx=∫Ωfvdx,(4)-\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(4)−∫Ω(∇2u)v dx=∫Ωfv dx,(4)

我们在这里让 dx 表示域 Ω 上积分的微分元素。我们稍后将让 ds 表示在 Ω 边界上积分的微分元素。

当我们推导出变分公式时，一个常见的规则是我们尽量保持 uuu 和 vvv 的导数的阶数尽可能小。在这里，我们有 uuu 的二阶空间导数，可以通过应用部分积分技术将其转换为 uuu 和 vvv 的一阶导数。公式是这样写的

−∫Ω(∇2u)vdx=∫Ω∇u⋅∇vdx−∫∂Ω∂u∂nvds,(5)-\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x-\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} v \mathrm{~d} s,\qquad(5)−∫Ω(∇2u)v dx=∫Ω∇u⋅∇v dx−∫∂Ω∂n∂uv ds,(5)

其中 ∂u∂n=∇u⋅n\frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u \cdot n∂n∂u=∇u⋅n 是uuu 在边界外法线方向nnn 上的导数。

变分公式的另一个特点是测试函数 vvv 需要在解 uuu 已知的边界部分消失。在当前问题中，这意味着整个边界 ∂Ω\partial \Omega∂Ω 上的 v=0v=0v=0。因此，等式（5）右边的第二项消失了。从等式（4）和（5）可以得出

∫Ω∇u⋅∇vdx=∫Ωfvdx,(6)\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(6)∫Ω∇u⋅∇v dx=∫Ωfv dx,(6)

抽象有限元变分公式

事实证明，为变分问题引入以下规范符号是很方便的：找到 u∈Vu \in Vu∈V 使得

a(u,v)=L(v)∀v∈V^,(9)a(u, v)=L(v) \quad \forall v \in \hat{V},\qquad(9)a(u,v)=L(v)∀v∈V^,(9)

对于泊松方程，我们有：

a(u,v)=∫Ω∇u⋅∇vdx,(10)a(u, v)=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x,\qquad(10)a(u,v)=∫Ω∇u⋅∇v dx,(10)

L(v)=∫Ωfvdx,(11)L(v)=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(11)L(v)=∫Ωfv dx,(11)

实现代码（Python）

from fenics import *
# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(8, 8)
V = FunctionSpace(mesh, ’P’, 1)
# Define boundary condition
u_D = Expression(’1 + x[0]*x[0] + 2*x[1]*x[1]’, degree=2)
def boundary(x, on_boundary):
return on_boundary
bc = DirichletBC(V, u_D, boundary)
# Define variational problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(-6.0)
a = dot(grad(u), grad(v))*dx
L = f*v*dx
# Compute solution
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)
...

详情参阅 - 亚图跨际