树链剖分--重链剖分

1可以将树转换成连续的数列，以此来维护树上路径之类信息

2对于每一个节点，将其子节点分为一个重节点和若干个轻节点，重节点为子树最大的节点

3定义一个轻节点一路沿着重子节点走形成的链，其余路径为轻链。

4需要进行两次dfs，第一次获取子树大小和重节点，节点深度，节点的父节点。

5第二次dfs，优先往重子节点走，获取所有点的时间戳，dfs序列，当前节点所在重链上面的端点。

6在同一条重链上的时间戳是连续的，因此就便于维护，比如线段树，莫队之类的。

7对于树的修改或者查询操作，对于两个节点，如果在同一条重链上，那么时间戳是连续的，非常便于维护

8如果不在同一条重链上，不断让两个节点中所在重链端点深度大的往上跳，调到所在重链顶端的父节点上，这个跳跃过程的路径时间戳是连续的，进行信息维护，直到两个点跳到同一条链上，然后进行最后一次维护。

代码实现

按照洛谷的模板题【模板】轻重链剖分/树链剖分 - 洛谷

1数据存储

const int maxn=5e5+10;
vector<int>vv[maxn];
int fa[maxn];//记录父亲节点
int son[maxn];//记录重子节点
int dep[maxn];//记录深度
int dfn[maxn];//记录时间戳
int siz[maxn];//记录子树大小
int val[maxn];//记录节点权值
int a[maxn];//记录节点权值的dfs序
int top[maxn];//记录当前重链的顶部
int cnt;
int mod;
struct node{int l,r,sum,lazy;
}tree[maxn<<2];

2第一次dfs

void dfs1(int u,int fat)
{fa[u]=fat;dep[u]=dep[fat]+1;siz[u]=1;int maxsize=-1;for(int to:vv[u]){if(to==fat)continue;dfs1(to,u);siz[u]+=siz[to];if(siz[to]>maxsize)//如果当前子节点子树大小大于maxsize {maxsize=siz[to];son[u]=to;}}
}

3第二次dfs

void dfs2(int u,int t)
{dfn[u]=++cnt;//记录时间戳 top[u]=t;a[cnt]=val[u];//记录dfs序if(!son[u])//有子节点必有重儿子，所以没有重儿子说明没有子节点return;dfs2(son[u],t);//重儿子和当前节点所处的重链的顶端相同for(int to:vv[u]){if(to==fa[u]||to==son[u])continue;dfs2(to,to);//此时的轻儿子顶端为自己 }
}

3线段树操作

inline void push_up(int p)
{tree[p].sum=tree[p<<1].sum+tree[p<<1|1].sum;tree[p].sum%=mod;
}
void build(int l,int r,int p)
{tree[p].l=l;tree[p].r=r;tree[p].lazy=0;if(l==r){tree[p].sum=a[l];return;}int mid=l+r>>1;build(l,mid,p<<1);build(mid+1,r,p<<1|1);push_up(p);
}
void push_down(int p)
{if(tree[p].lazy){tree[p<<1].sum+=(tree[p<<1].r-tree[p<<1].l+1)*tree[p].lazy;tree[p<<1].sum%=mod;tree[p<<1].lazy+=tree[p].lazy;tree[p<<1].lazy%=mod;tree[p<<1|1].sum+=(tree[p<<1|1].r-tree[p<<1|1].l+1)*tree[p].lazy;tree[p<<1|1].lazy%=mod;tree[p<<1|1].lazy+=tree[p].lazy;tree[p<<1|1].lazy%=mod;tree[p].lazy=0; }
}
void update(int ql,int qr,int v,int p)
{int l=tree[p].l;int r=tree[p].r;if(ql<=l&&r<=qr){tree[p].sum+=(r-l+1)*v;tree[p].sum%=mod;tree[p].lazy+=v;tree[p].lazy%=mod;return; }push_down(p);int mid=l+r>>1;if(mid>=ql)update(ql,qr,v,p<<1);if(mid+1<=qr)update(ql,qr,v,p<<1|1);push_up(p);
}
int query(int ql,int qr,int p)
{int l=tree[p].l;int r=tree[p].r;if(ql<=l&&r<=qr)return tree[p].sum%mod; push_down(p);int mid=l+r>>1;int ans=0;if(mid>=ql)ans+=query(ql,qr,p<<1);ans%=mod;if(mid+1<=qr)ans+=query(ql,qr,p<<1|1);ans%=mod;return ans;
}

4更新节点权值

void upchain(int x,int y,int v)
{while(top[x]!=top[y])//如果 x所处的链的顶端和y所处链的顶端，也就是x和y不属于同一条链上 {if(dep[top[x]]<dep[top[y]])//保证x为所在重链的顶端最深 swap(x,y);update(dfn[top[x]],dfn[x],v,1);//根据x跳跃经过的路径时间戳更新线段树 x=fa[top[x]];//x跳到当前链的订单的父节点 }if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);update(dfn[y],dfn[x],v,1);
}

5获取树上信息

int qchain(int x,int y)
{int sum=0;while(top[x]!=top[y])//如果 x所处的链的顶端和y所处链的顶端，也就是x和y不属于同一条链上 {if(dep[top[x]]<dep[top[y]])//保证x为所在重链的顶端最深 swap(x,y);sum+=query(dfn[top[x]],dfn[x],1);//根据x跳跃经过的路径时间戳查询线段树 sum%=mod;x=fa[top[x]];//x跳到当前链的订单的父节点 }if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);sum+=query(dfn[y],dfn[x],1);sum%=mod;return sum;
}

6主函数

int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int n,m,root;cin>>n>>m>>root>>mod;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>val[i];for(int i=1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;add(u,v);}dfs1(root,0);dfs2(root,root);build(1,cnt,1);for(int i=1;i<=m;i++){// cout<<i<<'\n';int op;cin>>op;if(op==1){int x,y,v;cin>>x>>y>>v;upchain(x,y,v);}else if(op==2){int x,y;cin>>x>>y;cout<<qchain(x,y)<<'\n';}else if(op==3){int x,v;cin>>x>>v;update(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,v,1);/*dfn[x]+siz[x]-1就是x的子树所有点的时间戳范围*/}else{int x;cin>>x;cout<<query(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,1)<<'\n';}}return 0;
}

7完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
vector<int>vv[maxn];
int fa[maxn];//记录父亲节点
int son[maxn];//记录重子节点
int dep[maxn];//记录深度
int dfn[maxn];//记录时间戳
int siz[maxn];//记录子树大小
int val[maxn];//记录节点权值
int a[maxn];//记录节点权值的dfs序
int top[maxn];//记录当前重链的顶部
int cnt;
int mod;
struct node{int l,r,sum,lazy;
}tree[maxn<<2];
inline void push_up(int p)
{tree[p].sum=tree[p<<1].sum+tree[p<<1|1].sum;tree[p].sum%=mod;
}
void build(int l,int r,int p)
{tree[p].l=l;tree[p].r=r;tree[p].lazy=0;if(l==r){tree[p].sum=a[l];return;}int mid=l+r>>1;build(l,mid,p<<1);build(mid+1,r,p<<1|1);push_up(p);
}
void push_down(int p)
{if(tree[p].lazy){tree[p<<1].sum+=(tree[p<<1].r-tree[p<<1].l+1)*tree[p].lazy;tree[p<<1].sum%=mod;tree[p<<1].lazy+=tree[p].lazy;tree[p<<1].lazy%=mod;tree[p<<1|1].sum+=(tree[p<<1|1].r-tree[p<<1|1].l+1)*tree[p].lazy;tree[p<<1|1].lazy%=mod;tree[p<<1|1].lazy+=tree[p].lazy;tree[p<<1|1].lazy%=mod;tree[p].lazy=0; }
}
void update(int ql,int qr,int v,int p)
{int l=tree[p].l;int r=tree[p].r;if(ql<=l&&r<=qr){tree[p].sum+=(r-l+1)*v;tree[p].sum%=mod;tree[p].lazy+=v;tree[p].lazy%=mod;return; }push_down(p);int mid=l+r>>1;if(mid>=ql)update(ql,qr,v,p<<1);if(mid+1<=qr)update(ql,qr,v,p<<1|1);push_up(p);
}
int query(int ql,int qr,int p)
{int l=tree[p].l;int r=tree[p].r;if(ql<=l&&r<=qr)return tree[p].sum%mod; push_down(p);int mid=l+r>>1;int ans=0;if(mid>=ql)ans+=query(ql,qr,p<<1);ans%=mod;if(mid+1<=qr)ans+=query(ql,qr,p<<1|1);ans%=mod;return ans;
}
inline void add(int u,int v)
{vv[u].push_back(v);vv[v].push_back(u);
}
void dfs1(int u,int fat)
{fa[u]=fat;dep[u]=dep[fat]+1;siz[u]=1;int maxsize=-1;for(int to:vv[u]){if(to==fat)continue;dfs1(to,u);siz[u]+=siz[to];if(siz[to]>maxsize)//如果当前子节点子树大小大于maxsize {maxsize=siz[to];son[u]=to;}}
}
void dfs2(int u,int t)
{dfn[u]=++cnt;//记录时间戳 top[u]=t;a[cnt]=val[u];//记录dfs序if(!son[u])//有子节点必有重儿子，所以没有重儿子说明没有子节点return;dfs2(son[u],t);//重儿子和当前节点所处的重链的顶端相同for(int to:vv[u]){if(to==fa[u]||to==son[u])continue;dfs2(to,to);//此时的轻儿子顶端为自己 }
}
void upchain(int x,int y,int v)
{while(top[x]!=top[y])//如果 x所处的链的顶端和y所处链的顶端，也就是x和y不属于同一条链上 {if(dep[top[x]]<dep[top[y]])//保证x为所在重链的顶端最深 swap(x,y);update(dfn[top[x]],dfn[x],v,1);//根据x跳跃经过的路径时间戳更新线段树 x=fa[top[x]];//x跳到当前链的订单的父节点 }if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);update(dfn[y],dfn[x],v,1);
}
int qchain(int x,int y)
{int sum=0;while(top[x]!=top[y])//如果 x所处的链的顶端和y所处链的顶端，也就是x和y不属于同一条链上 {if(dep[top[x]]<dep[top[y]])//保证x为所在重链的顶端最深 swap(x,y);sum+=query(dfn[top[x]],dfn[x],1);//根据x跳跃经过的路径时间戳查询线段树 sum%=mod;x=fa[top[x]];//x跳到当前链的订单的父节点 }if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);sum+=query(dfn[y],dfn[x],1);sum%=mod;return sum;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int n,m,root;cin>>n>>m>>root>>mod;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>val[i];for(int i=1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;add(u,v);}dfs1(root,0);dfs2(root,root);build(1,cnt,1);for(int i=1;i<=m;i++){//    cout<<i<<'\n';int op;cin>>op;if(op==1){int x,y,v;cin>>x>>y>>v;upchain(x,y,v);}else if(op==2){int x,y;cin>>x>>y;cout<<qchain(x,y)<<'\n';}else if(op==3){int x,v;cin>>x>>v;update(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,v,1);}else{int x;cin>>x;cout<<query(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,1)<<'\n';}}return 0;
}

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