机敏问答[概率][0] #20210617
2024-05-17 17:37:51
机敏问答[概率][0] #20210617
- 期望、尾分布与阿贝尔变换
- 答案
- 随机变量函数的期望
- 答案
- 条件期望
- 答案
本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。
万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）
期望、尾分布与阿贝尔变换
- X X X期望有界则 ∣ X ∣ |X| ∣X∣期望（）。记号 E X = + ∞ EX=+\infty EX=+∞意思是（）。
- 解释”数字特征”中“特征”的含义。说期望是“分布的数字特征”，相比认为它是“随机变量的数字特征”思想上有何不同？
- （阿贝尔变换）对取非负整数值的随机变量，将期望表示为一列随机事件的概率之和。对只可能取非负整数值乘以 0.1 0.1 0.1的随机变量又如何？回忆尾分布，并由此直接写出对连续型非负随机变量用尾分布的积分表示期望的方法。
- 你能把2.拓展到 n n n阶原点矩情况吗？
- 为了对一般情况的随机变量定义期望，我们可以用 Y 1 = [ n X ] n Y_1=\frac {[nX]}n Y1=n[nX]和（）做夹逼。（）（填人名）积分 ∫ R ∣ x ∣ d F ( x ) \int_\mathbb R|x|dF(x) ∫R∣x∣dF(x)（ F F F是分布函数）满足（）时我们称 X X X期望存在。
- 非负函数黎曼积分为0则连续点处（），对比非负随机变量期望为0则 P ( X > 0 ) = P(X>0)= P(X>0)=（），两者有什么联系？
- 证明 E X ≥ P ( X > 1 n ) n EX\ge \frac{P(X>\frac 1n)}n EX≥nP(X>n1). 从而用（）（一系列可数个零概率事件）的并仍是（）可以证明5.中关于随机变量的结论。
- 请考察单调且求和收敛的级数 ∑ a n \sum a_n ∑an的 l i m n → ∞ n a n lim_{n\to\infty} na_n limn→∞nan. 类比地，对期望有限情况，求 x → ∞ x\to \infty x→∞时 x G ( x ) xG(x) xG(x)（ G G G是尾分布）. 由于 x = 0 x=0 x=0和 x → ∞ x\to \infty x→∞时都有 x G ( x ) = xG(x)= xG(x)=（），所以形式上可以用分部积分导出2.
- 综合7.和2.，分两段估计 l i m x → ∞ E X 1 { X > x } lim_{x\to \infty}EX1_{\{X>x\}} limx→∞EX1{X>x}
- 由8.可以得到期望存在时截断变量的期望的极限即（）等于 E X EX EX. 若非负随机变量 X X X的 E X = + ∞ EX=+\infty EX=+∞，我们仍有类似的结论：为此考察（） N N N，（） M M M使得 ∫ 0 M G ( x ) d x > N + 1 \int_0^MG(x)dx>N+1 ∫0MG(x)dx>N+1，然后估计（） = ∫ 0 ∞ P ( y < X ≤ x ) d y ≥ ∫ 0 M P ( y < X ≤ x ) d y =\int_0^\infty P(y<X\le x)dy\ge\int_0^MP(y<X\le x)dy =∫0∞P(y<X≤x)dy≥∫0MP(y<X≤x)dy，最后一式在 x x x（）时，一定和（）足够接近从而大于 N N N.
答案
- 有界，略（注：这时虽然形式上写出 E X = ⋯ EX=\cdots EX=⋯，但仍称期望不存在）
- 从复杂事物提取出简单事物。即使对于不同随机变量，只要分布相同（ X = d Y X\mathop=\limits^dY X=dY）则期望相同。
- E X = ∑ k = 1 ∞ P ( X ≥ k ) , E X = ∑ k = 1 ∞ P ( x ≥ 0.1 k ) 0.1 EX=\sum_{k=1}^\infty P(X \ge k),EX=\sum_{k=1}^\infty P(x\ge0.1k)0.1 EX=∑k=1∞P(X≥k),EX=∑k=1∞P(x≥0.1k)0.1，此处0.1相当于积分的 d x dx dx. E X = ∫ 0 ∞ G ( x ) d x EX=\int_0^\infty G(x)dx EX=∫0∞G(x)dx
- 本质还是阿贝尔变换（特殊情况下，分部积分）。
- Y 2 = [ n X ] + 1 n Y_2=\frac{[nX]+1}n Y2=n[nX]+1，斯蒂杰尔斯，小于无穷（收敛）
- 函数值必为0。期望是在一般的测度空间上定义的（甚至有可能在有限个点上定义），所以无法考察“连续”，需要考察概率（测度）（注：实际上，黎曼积分连续点附近找一个小邻域，也就是得到了一块测度为正的区域）
- 用 E X 1 X > 1 / n EX1_{X>1/n} EX1X>1/n过渡。 { X > 1 / n } \{X>1/n\} {X>1/n}，零概率事件
- 均为0.
- 0
- l i m x → ∞ E X 1 { X ≤ x } lim_{x\to\infty}EX1_{\{X\le x\}} limx→∞EX1{X≤x}，任意，存在， E X 1 { X ≤ x } EX1_{\{X\le x\}} EX1{X≤x}，趋于无穷， ∫ 0 M G ( x ) d x \int_0^MG(x)dx ∫0MG(x)dx
随机变量函数的期望
- 为了求 E f ( X ) Ef(X) Ef(X)，直观的想法是 ∫ f ( x ) d P \int f(x)dP ∫f(x)dP， d P dP dP是“概率微元”，而用斯蒂杰尔斯积分表示则把 d P dP dP改写为（）即可，其中 F X ( x ) F_X(x) FX(x)表示（）。
- 0.在离散型、连续型情况分别退化为什么？高维情况下 E f ( X ⃗ ) = ∫ f ( x ⃗ ) p ( x ⃗ ) d x ⃗ Ef(\vec X)=\int f(\vec x)p(\vec x)d\vec x Ef(X )=∫f(x )p(x )dx 中 d x ⃗ d \vec x dx 的含义是什么？
- 相互独立是期望号 E E E保持乘积的（）条件，期望号 E E E是否保持绝对值记号和平方？
- 若 X − μ X-\mu X−μ（） μ − X \mu-X μ−X，且 E X EX EX存在，则 E X EX EX等于（）
- 当 X ⃗ ∼ N ( μ ⃗ , Σ ) \vec X\sim N(\vec \mu,\Sigma) X ∼N(μ ,Σ)且非退化时，如何用 X ⃗ \vec X X 通过仿射变换得到满足标准正态分布的 Z ⃗ \vec Z Z ？如何用 Z ⃗ \vec Z Z 表示 X ⃗ \vec X X ？从而如何用 Z ⃗ \vec Z Z 的各分量表示 X ⃗ \vec X X 的各分量？从而得到 X X X各分量期望和方差。
- 如果 X X X是一系列示性函数 1 A i 1_{A_i} 1Ai之和，则 E X = EX= EX=（），这是否需要各事件独立？由此可以得到（）分布和（）分布的期望。
- 证明严格正的独立同分布随机变量前 k k k个之和在前 n n n个之和中占比为（）（ k < n k<n k<n）：需要先说明待考察随机变量有界，从而（），然后再构造（）个同分布随机变量使他们的和恒为（）得证。如果 k > n k>n k>n，请举出反例。
- 请利用转化为圆环上的情况，证明满足均匀分布的 U 1 , ⋯ , U n U_1,\cdots,U_n U1,⋯,Un把[0,1]线段分为 n + 1 n+1 n+1段的每一段的长度是独立同分布的，从而应用6.可得（）。
- 固定成本和售价时，商品需求 X ∼ P ( λ ) X\sim P(\lambda) X∼P(λ)，简述如何求最佳生产量。
答案
- d F X ( x ) dF_X(x) dFX(x)， X X X的分布函数
- 级数求和，（以黎曼积分为基础的）广义积分，“体积微元”（注意这个记号可能引起误解，让人以为是向量微元。其实不是！）
- 充分不必要，不保持（Jensen不等式）。
- = d \mathop=\limits^d =d， μ \mu μ
- Z ⃗ = ( X ⃗ − μ ⃗ ) / Σ − 1 , X ⃗ = μ ⃗ + Σ Z ⃗ , X i = μ i + ∑ j Σ ( i ; j ) Z j \vec Z=(\vec X-\vec \mu)/\sqrt{\Sigma}^{-1},\vec X = \vec\mu+\sqrt{\Sigma}\vec Z,X_i=\mu_i+\sum_j\sqrt{\Sigma}(i;j)Z_j Z =(X −μ )/Σ −1,X =μ +Σ Z ,Xi=μi+∑jΣ (i;j)Zj
注：注意根据 Σ \sqrt{\Sigma} Σ 定义得到一行元素平方和。 - ∑ i P ( A i ) \sum_iP(A_i) ∑iP(Ai)，不需要，二项，超几何
- k / n k/n k/n， E X 1 + ⋯ + X k X 1 + ⋯ + X n E\frac{X_1+\cdots+X_k}{X_1+\cdots+X_n} EX1+⋯+XnX1+⋯+Xk存在， k k k，1. 期望可能不存在
- 略，每段长度期望为 1 / ( n + 1 ) 1/(n+1) 1/(n+1)
- 作差求最值点。
条件期望
- 请定义随机变量 Y Y Y以样本空间 Ω \Omega Ω中事件 A A A为条件的分布函数，借此写出 Y Y Y在 A A A下条件期望 E ( Y ∣ A ) E(Y|A) E(Y∣A)的斯蒂杰尔斯积分形式。
- 回忆连续性随机变量中 X = x 0 X=x_0 X=x0概率是0，那么0.中所用到的条件概率在 A A A表示事件 X = x 0 X=x_0 X=x0时如何定义？回忆条件概率和条件密度的联系，用连续性随机变量的条件密度表示条件期望。
- 仍设样本空间为 Ω \Omega Ω，如果一系列事件 A ( ω ) A(\omega) A(ω)恰好表示各个（），那么随机变量 Y Y Y关于事件 A ( ω ) A(\omega) A(ω)的条件期望 E ( Y ∣ A ( ω ) ) E(Y|A(\omega)) E(Y∣A(ω))是样本点 ω \omega ω的函数，从而是 Ω \Omega Ω上的随机变量。
- 如果对于 Ω \Omega Ω上随机变量 X X X，把2.中的一系列事件改成 A ( x ) : = { ω ∣ X ( ω ) = x } A(x):=\{\omega|X(\omega)=x\} A(x):={ω∣X(ω)=x}，那么随机变量 Y Y Y关于事件（）的条件期望是（）的函数，也是（）的函数，从而也是 Ω \Omega Ω上的随机变量。
- 回忆离散型、连续型随机变量函数的期望的公式，试由此证明这两种特殊情况的重期望公式。记3.中关于 x x x的函数为 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)，为什么 ϕ ( x 0 ) P ( X = x 0 ) = ∑ i y i P ( Y = y i , X = x 0 ) \phi(x_0)P(X=x_0)=\sum_i y_iP(Y=y_i,X=x_0) ϕ(x0)P(X=x0)=∑iyiP(Y=yi,X=x0)？
- 重期望公式的应用往往是 E Y EY EY不好求，但添加条件后的 E ( Y ∣ X ) E(Y|X) E(Y∣X)好求。如果是 E ( Y ∣ A ) E(Y|A) E(Y∣A)不好求，添加 X X X条件后的 E ( Y ∣ A , X ) E(Y|A,X) E(Y∣A,X)好求，那怎么办呢？提出这种情况下的“重期望公式”并给出离散型情况的证明。
- 0.中是用分布函数改变的角度考察条件期望。那么如何从概率空间改变的角度考察条件期望？用这个角度解释 E ^ ( Y ) : = E ( Y ∣ A ) \hat E(Y):=E(Y|A) E^(Y):=E(Y∣A)记号，参考0.解释 F ^ { X = x 0 } ( y ) \hat F_{\{X=x_0\}}(y) F^{X=x0}(y)和 E ^ ( Y ∣ X = x 0 ) = E ( Y ∣ A , X = x 0 ) \hat E(Y|X=x_0)=E(Y|A,X=x_0) E^(Y∣X=x0)=E(Y∣A,X=x0)，并考察5.
答案
- F A ( y ) : = P ( Y ≤ y ∣ A ) , E ( Y ∣ A ) = ∫ y d F A ( y ) F_A(y):=P(Y\le y|A),E(Y|A)=\int ydF_A(y) FA(y):=P(Y≤y∣A),E(Y∣A)=∫ydFA(y)
- 某个概率比的极限。 E ( Y ∣ X = x 0 ) = ∫ y p Y ∣ X ( y ∣ x 0 ) d y E(Y|X=x_0)=\int yp_{Y|X}(y|x_0)dy E(Y∣X=x0)=∫ypY∣X(y∣x0)dy
- Ω \Omega Ω中样本点 ω \omega ω组成的单点集（即 A ( ω ) = { ω } A(\omega)=\{\omega\} A(ω)={ω}）
- A ( x ) A(x) A(x)， x x x， ω \omega ω
- 因为 ϕ ( x 0 ) = ∑ y i P ( Y = y i ∣ X = x 0 ) \phi(x_0)=\sum y_iP(Y=y_i|X=x_0) ϕ(x0)=∑yiP(Y=yi∣X=x0)，再做乘法。
- E X ( E Y ( Y ∣ A , X ) ∣ A ) = E ( Y ∣ A ) E_X(E_Y(Y|A,X)|A)=E(Y|A) EX(EY(Y∣A,X)∣A)=E(Y∣A).
E X ( E Y ( Y ∣ A , X ) ∣ A ) = ∑ i ϕ A ( x i ) P ( X = x i ∣ A ) = ∑ i ∑ j y j P ( Y = y j ∣ A , X = x i ) P ( X = x i ∣ A ) = ∑ i , j y j ( P ( Y = y j , A , X = x i ) / P ( A ) ) = ∑ i , j y j P ( Y = y j , X = x i ∣ A ) = E ( Y ∣ A ) E_X(E_Y(Y|A,X)|A)=\sum_i \phi_{A}(x_i)P(X=x_i|A)\\ =\sum_i\sum_j y_jP(Y=y_j|A,X=x_i)P(X=x_i|A)\\ =\sum_{i,j}y_j(P(Y=y_j,A,X=x_i)/P(A))\\ =\sum_{i,j}y_jP(Y=y_j,X=x_i|A)=E(Y|A) EX(EY(Y∣A,X)∣A)=i∑ϕA(xi)P(X=xi∣A)=i∑j∑yjP(Y=yj∣A,X=xi)P(X=xi∣A)=i,j∑yj(P(Y=yj,A,X=xi)/P(A))=i,j∑yjP(Y=yj,X=xi∣A)=E(Y∣A) - 回忆条件概率可以看成定义在一个新的概率空间上的概率（设用 P ^ \hat P P^表示），则 E ^ ( Y ) : = E ( Y ∣ A ) = ∫ y d P ( Y ≤ y ∣ A ) = ∫ y d P ^ \hat E(Y):=E(Y|A)=\int ydP(Y\le y|A)=\int yd\hat P E^(Y):=E(Y∣A)=∫ydP(Y≤y∣A)=∫ydP^， F ^ { X = x 0 } ( y ) = P ^ ( Y ≤ y ∣ X = x 0 ) \hat F_{\{X=x_0\}}(y)=\hat P(Y\le y|X=x_0) F^{X=x0}(y)=P^(Y≤y∣X=x0)， E ^ ( Y ∣ X ) = ∫ y d P ^ ( Y ≤ y ∣ X = x 0 ) = ∫ y d P ( Y ≤ y ∣ X = x 0 , A ) = E ( Y ∣ X = x 0 , A ) \hat E(Y|X)=\int yd\hat P(Y\le y|X=x_0)=\int ydP(Y\le y|X=x_0,A)=E(Y|X=x_0,A) E^(Y∣X)=∫ydP^(Y≤y∣X=x0)=∫ydP(Y≤y∣X=x0,A)=E(Y∣X=x0,A)
5.可以看作 E ^ \hat E E^的重期望公式。（注：特别注意5.表达式中左侧最后一个 A A A不要遗漏。请时刻记住重期望公式中 X X X和 Y Y Y在同一概率空间上）
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