函数的有界性

要判断一个函数的有界性，首先要从定义出发。

函数的有界性定义：设y=f(x)的定义域为D，在D内，若存在一个正数M，使得对于任意D中的x,恒有│f(x)│≤M。则称函数y=f(x)在D上有界,亦称f(x)在D上是有界函数.如果不存在这样的正数M,则称函数y=f(x)在D上无界,亦称f(x)在D上是无界函数。

下面看例题：

例1：y=x/(1+x^2)
解：
定义域为R
整理为y=1/[(1/x)+x]
因为分母中 [(1/x)+x ] >= 2根号[(1/x)*x] = 2
所以 y <= 1/2
同理可得y>=-1/2
即 |y|<=1/2 , 故该函数有界。

例2：y=sin(1/x) ,x不等于0
解：
1/x的范围为(-无穷，0)∪（0,+无穷）
所以sin(1/x)范围为 [-1,1]
即 |y|<=1 ,故该函数有界。

例3：y=xcosx
解：
令x=2kπ，k∈Z
则cosx=1 , y = 2kπ
当K–>±无穷，同时y–>±无穷
故该函数无界。

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