钢管订购及运输优化模型

  • 一、问题重述
    • 需要解决的问题
  • 二、模型假设
  • 三、符号说明
  • 四、模型的分析、建立、求解
    • 1. 模型的分析与决策变量的设置
    • 2.模型的建立
      • 1）目标函数
        • (1)铺设总费用
        • (2)成本和运输总费用
        • (3)求单位钢管从钢厂运到运输点的最小费用A~ij~
          • 1. 将铁路图转化成费用图
          • 2.合并铁路和公路图得以费用为权的交通网络图
          • 3.计算S~1~到结点A~i~的最小费用
          • 4.计算单位钢管从S~1~到A~i~的订购与运输的最小费用
          • 5.从S~i~购买单位钢管运到结点A~i~的最小费用A~ij~
    • 3.模型的求解

一、问题重述

要铺设一条输送天然气的主管道：A1→A2→…→A15，
能生产这种钢管的厂家一共有：S1,S2,…,S7。
厂家与管道间的交通网络已知。粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿着管道或者原来有公路，或者建有施工公路）
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500 个单位。钢厂Si在指定期限内能生产 该钢管的最大数量为si个单位，钢管出厂销价1单位钢管为pi万元。如下表。
1单位钢管的铁路运价如下表，另外1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到主管道结点A1,A2,…,A15，而是管道全线）。

需要解决的问题

（1）请定制一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。
（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销量的变化对运购计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
（3）如果要铺设的管道不是一条直线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成的网络，请就这种更一般的情况给出一种解决办法，并对图（2）的情形给出模型结果。

二、模型假设

  1. 铺设的主管道以有公路或者有施工公路。
  2. 在主管道上，每公里卸1单位的钢管。
  3. 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）
  4. 在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，而不考虑其他费用。
  5. 在计算钢厂的产量对购运计划的影响时，只考虑钢厂的产量足够满足需要的情况，即钢厂的产量不受限制。
  6. 假设钢管在铁路运输路程超过1000km时，铁路每增加1至100km，1单位钢管的运价增加5万元。

三、符号说明

Si：第i个钢厂；i=1,2,...,7S_i：第i个钢厂；\qquad i=1,2,...,7Si​：第i个钢厂；i=1,2,...,7
si:第i个钢厂的最大产量；i=1,2,...,7s_i:第i个钢厂的最大产量；\qquad i=1,2,...,7si​:第i个钢厂的最大产量；i=1,2,...,7
Aj:输送管道（主管道）上的第j个点；j=1,2,...,15A_j:输送管道（主管道）上的第j个点；\qquad j=1,2,...,15Aj​:输送管道（主管道）上的第j个点；j=1,2,...,15
pi：第i个钢厂1单位钢管的销价；i=1,2,...,7p_i：第i个钢厂1单位钢管的销价；\qquad i=1,2,...,7pi​：第i个钢厂1单位钢管的销价；i=1,2,...,7
xij:钢厂Si向点Aj运输的钢管量；i=1,2,...,7j=1,2,...,15x_{ij}:钢厂S_i向点A_j运输的钢管量；\qquad i=1,2,...,7\qquad j=1,2,...,15xij​:钢厂Si​向点Aj​运输的钢管量；i=1,2,...,7j=1,2,...,15
yj:在点Aj与点Aj+1之间的公路上，运输点Aj向点Aj+1方向铺设的钢管量；j=1,2,3,...,14y_j:在点A_j与点A_{j+1}之间的公路上，运输点A_j向点A_{j+1}方向铺设的钢管量；\qquad j=1,2,3,...,14yj​:在点Aj​与点Aj+1​之间的公路上，运输点Aj​向点Aj+1​方向铺设的钢管量；j=1,2,3,...,14
Aij:1单位钢管从钢厂Si到点Aj的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；i=1,2,...,7j=1,2,...,15A_{ij}:1单位钢管从钢厂S_i到点A_j的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；\qquad i=1,2,...,7 \qquad j=1,2,...,15Aij​:1单位钢管从钢厂Si​到点Aj​的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；i=1,2,...,7j=1,2,...,15

四、模型的分析、建立、求解

1. 模型的分析与决策变量的设置

先看总费用：总费用由三部分组成：
1.钢管的订购费。
2.运费。
3.铺设费用。
再看订购和运输计划：
所谓订购计划：就是向每个钢厂订购多少钢管。
所谓运输计划：就是将每个钢厂订购的钢管运输到那些结点？运多少？

故可设：向第i个钢厂订购xi单位的钢管，第i个钢厂运往第j个结点xij单位的钢管。故可设：向第i个钢厂订购x_{i}单位的钢管，第i个钢厂运往第j个结点x_{ij}单位的钢管。故可设：向第i个钢厂订购xi​单位的钢管，第i个钢厂运往第j个结点xij​单位的钢管。
i=1,2,...,7j=1,2,...,15i=1,2,...,7\qquad j=1,2,...,15i=1,2,...,7j=1,2,...,15

再决定每个结点分别向左右铺设多少
当钢管从钢厂Si运到点Aj后，钢管就要向运输点Aj的两边AjAj+1段和Aj-1Aj段运输（铺设）管道。
设yi是结点Aj向右铺设与Aj+1向左铺设之间的交点（y1=0，y15=0）。（j=2,3,…,14）

2.模型的建立

1）目标函数

总费用=铺设总费用+成本及运输总费用=C+W

(1)铺设总费用

当钢管从钢厂运到点Aj后，钢管就要向运输点Aj的两边AjAj+1端和Aj-1Aj段运输（铺设）管道。
yj：表示结点Aj到Aj+1之间的分界点（y1=0，y15=0），铺设方法如下图：
设Aj向AjAj+1段的运输费为0.1×(1+2+...+yj)=yj(yj+1)20;由于相邻运输点Aj与Aj+1之间的距离为dj，那么Aj+1向AjAj+1段铺设的管道长为dj−yj，所以对应铺设的费用为(dj−yj+1)(dj+yj)20设A_j向A_jA_{j+1}段的运输费为0.1×(1+2+...+y_j)=\frac{y_j(y_j+1)}{20};由于相邻运输点A_j与A_{j+1}之间的距离为d_j，那么A_{j+1}向A_j A_{j+1}段铺设的管道长为d_j-y_j，所以对应铺设的费用为\frac{(d_j-y_j+1)(d_j+y_j)}{20}设Aj​向Aj​Aj+1​段的运输费为0.1×(1+2+...+yj​)=20yj​(yj​+1)​;由于相邻运输点Aj​与Aj+1​之间的距离为dj​，那么Aj+1​向Aj​Aj+1​段铺设的管道长为dj​−yj​，所以对应铺设的费用为20(dj​−yj​+1)(dj​+yj​)​。
故总的铺设费用为：

注意变量j的取值是从1到14，不取0和15。

(2)成本和运输总费用

若运输点Aj向钢厂Si订购xij单位钢管，Aij是1单位钢管从钢厂Si到点Aj的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；则钢管从钢厂Si运到运输点Aj所需的费用为Aijxij若运输点A_j向钢厂S_i订购x_{ij}单位钢管，A_{ij}是1单位钢管从钢厂S_i到点A_j的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；则钢管从钢厂S_i运到运输点A_j所需的费用为A_{ij}x_{ij}若运输点Aj​向钢厂Si​订购xij​单位钢管，Aij​是1单位钢管从钢厂Si​到点Aj​的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；则钢管从钢厂Si​运到运输点Aj​所需的费用为Aij​xij​
由于钢管运到A1必须经过A2，所以可以不考虑A1，那么所有钢管从钢厂运到各个运输点上的总费用为：
目标函数为：
综合上述分析，得非线性规划模型：

(3)求单位钢管从钢厂运到运输点的最小费用Aij

方法：将图一转换为一个以单位钢管的运输费 用为权的赋权图，再求最短路的权.
由于运输过程中既有铁路，也有公路。 铁路的运费还是分段函数，与全程运输总距离有 关；各路运费却是线性函数。

在数学建模中，时常会出现最短路问题。
最短路问题是指：若从图中的某一顶点(源点) 到达另一顶点(终点)的路径不止一条，如何寻找 一条路径，使得沿此路径各边上的权值总和(源点 到终点的距离)最小，这条路径称为最短路径。
许多优化问题都等价于在一个图中寻找最短路。 例如，管道的铺设、线路的安排、厂址的选取和 布局、设备的更新等。

定义：若将图G的每一条边e都对应一个实数w(e)，称w(e)为边的权， 并称图G为赋权图.

思路： 由于钢厂Si直接与铁路相连，所以可先求出钢厂Si到铁路与公路相交点bj（对应于Aj）的最短路径。

1. 将铁路图转化成费用图

将铁路与公路交界的点编号 bj

计算Si到bi的最小费用

2.合并铁路和公路图得以费用为权的交通网络图

思路：①再将与bj相连的公路、运输点Ai及其与之相连的要铺设管 道的线路（也是公路）添加到图上。
②同时根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的 运费，并把此费用作为边权赋给相应的边。以S1为例得图：

3.计算S1到结点Ai的最小费用

再用图论软件包或MATLAB或LINGO求解,如S1到Ai的最小费用（万元）为:

4.计算单位钢管从S1到Ai的订购与运输的最小费用

5.从Si购买单位钢管运到结点Ai的最小费用Aij

同理，可用同样的方法求出钢厂S2、S3、S4、S5、S6、S7到点Aj的最小费用，从而得出从钢厂Si购买单位钢管运到结点Aj的最小总费用 Aij（单位：万元）为：

3.模型的求解

用LINGO求解（gangguan）:

不让S7生产的模型：
要求钢厂S7的产量不小于500个单位的模型

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