导数的定义：

$\Delta x$ 为 $x_0$ 处的一个增量。

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A$

这样，称函数y = f(x)在 $x_0$ 处可导，极限值A为y =f(x)在 $x_0$ 处的导数，并记作 $f'(x_0)$ 或 $y'|_{x-x_0}$ 或 $\frac{dy}{dx}|_{x-x_0}$

导数 $f'(x_0)$ 表示：因变量y在自变量 $x_0$ 处的变化率。

例1：利用导数的定义求函数 $y = x^2$ 在x = 3处的导数；

解： $f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3+\Delta x) - f(3)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(3+\Delta x)^2 - 3^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{6\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}(6+\Delta x) = 6$

例2：利用导数的定义求函数 $y = \sin x$ 在x = 0处的导数；

解： $f'(0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$

导函数的定义：

如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，那么对于开区间(a,b)内的任意一点x的导数可以构成一个函数，称这个函数是函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，并记为： $f'(x)$ 或 $y'$ 或 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{df}{dx}$ .

例3：利用导数的定义求 $f(x) = x^2$ 的导函数 $f'(x)$ .

解： $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x+\Delta x) = 2x$

导数的几何意义：

$f'(x_0)$ 表示：函数y = f(x)在点 $P(x_0,y_0)$ 处切线的斜率。

即： $\tan \alpha = f'(x_0)$

可导与连续性

定理：如果函数y = f(x)在 $x_0$ 处的导数f'( $x_0$ )存在，那么它必将在 $x_0$ 处连续。

y = f(x)在 $x_0$ 处可导 $\Rightarrow f'_- (x) = f'_+(x)$ (左导数等于右导数)

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