商人渡河问题图解法

曲靖师范学院

毕业论文

题 目： 商人渡河问题图解法

学 号：

姓 名： 张斌

年 级： 2008级

学 院： 数学与信息科学学院

专 业： 数学与应用数学

指导教师： 孙丽萍(讲师)

完成日期： 2012年 4月 20 日

商人渡河问题的图解法

摘要

针对安全渡河这一问题，引入图解方法，提出了又一种新的图解法．该方法将顶点设计为由 “小船”、“商人、“仆人”组成的三元组，组中的每个元素取值可为“此岸”、“船上”、“彼岸”．然后将实际模型转换为图型结构，最后通过路径搜索获得问题的解．本文就安全过河问题，采用多步决策建立了数学模型，求解得到商人们安全过河的方案。

关键词：安全渡河问题；数学建模；图型求解；

Graphic Method on the Problems of Merchants' Crossing River

Abstract

This article introduces another new graphic method in bringing the diagram concerning the problems of merchants' safe river crossing. This new method considers the vertex as the "three-member group" consisting of "the boat", "merchants" and "servants". Three elements in the group can be valued as " the shore", "the ship" and "the opposite shore", then the actual model can be transformed as diagram structure. The result shows the answer through the means of Route Searching. This article focuses on the safe river crossing, established the mathematical model in using step analysing method, aimed at getting the best plan of crossing river.

Keywords: the problem of safe river crossing; Mathematical modeling; Graphic method

目 录

1 引言1

2 图解法方法介绍1

3 问题重述1

3.1 问题描述1

3.2 问题分析2

3.3 渡河模型假设2

4 求解模型2

4.1 商人比仆人多时(m>n)2

4.2 商人和仆人相同时(m=n)3

4.3 商人比仆人少时(m

5 启示15

6 评价及推广15

7 结束语16

附录16

参考文献24

致谢25

1 引言

这是一个古老的数学智力问题，下面我们将所有的小船载人数为2的问题给解决。在解决某个具体的应用问题的同时，能对某一类问题提供解决办法．为使解题的过程更具全面性、通用性和借鉴性，本文将完全以图解的方法来建模并求解．最终，得到商人安全渡河的方案。最后本文就此问题进行推广，当有m名商人n名随从，一只小船只载人数为2人的渡河问题得以完全解决。在商人渡河问题中对实际进行抽象，并建立理论模型，最后将该模型纳入某种知识系统中去处理，这是用理论知识和方法解决实际问题的主要过程．

2 图解法方法介绍

本方法采用类似矩阵形式，对渡河问题进行变更，采用步不决策，对所有的决策变量考虑，直到找出所有解，可得其最优解、所有解等，其中中的a，c代表渡河中的商人个数，b，d代表渡河中的仆人个数；a，b代表渡河中左岸的个数，c，d代表右岸的个数。在转移过程中，其中中e代表转移商人个数，f代表转移仆人个数，去代表从左岸到右岸的过程，回代表从右岸到左岸的过程，图中的失效代表的是在次过成中，前面已经有重复或者回到了起点或者回到了上一步，途中的失败代表，在此时，左岸或者右岸商人数少于仆人数，商人被杀，故渡河失败。在过程中，e+f≦2，故而，所有的考虑过程只考虑了(0，1)(1,