傅里叶变换的一些总结

1.三角函数的正交性

三角函数系：{1(cos(0x)),sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x),...,sin(nx),cos(nx)}\{ 1(cos(0x)), sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x),...,sin(nx),cos(nx) \}{1(cos(0x)),sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x),...,sin(nx),cos(nx)}

从三角函数系中任选两个函数，他们的乘积在[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]上的积分具有一定的正交性。（正交，理解：两个二维向量，内积为0，图像上表示为垂直关系，例子：向量a={a1,a2,...,an}a = \{a_1,a_2,...,a_n\}a={a1,a2,...,an}和向量b={b1,b2,...,bn}b = \{b_1,b_2,...,b_n\}b={b1,b2,...,bn}的内积为0，即a1b1+a2b2+...+anbn=0a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n = 0a1b1+a2b2+...+anbn=0）。
∫−ππsin(nx)cos(mx)=0∫−ππsin(nx)sin(mx)=0,m≠n∫−ππcos(nx)cos(mx)=0,m≠n\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)cos(mx) = 0 \\ \int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)sin(mx) = 0,~~~~ m \ne n \\ \int_{-\pi}^{\pi} cos(nx)cos(mx) = 0,~~~~ m \ne n \\ ∫−ππsin(nx)cos(mx)=0∫−ππsin(nx)sin(mx)=0, m=n∫−ππcos(nx)cos(mx)=0, m=n
证明，利用三角函数积化和差化简。

2.周期为2π2\pi2π的连续函数

f(t)=f(t+2π)f(t) = f(t + 2\pi)f(t)=f(t+2π)，展开为傅里叶级数为：
f(t)=a0+a1cos(t)+b1sin(t)+a2cos(2t)+b2sin(2t)+...+a∞cos(∞t)+b∞sin(∞t)=a0/2+∑n=1∞ancos(nt)+∑n=1∞bnsin(nt)(1)f(t) = a_0 + a_1cos(t) +b_1sin(t)+a_2cos(2t) + b_2sin(2t) +...+a_\infty cos(\infty t)+b_\infty sin(\infty t) \\ = a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty a_ncos(nt) + \sum_{n=1}^\infty b_nsin(nt) \tag {1} f(t)=a0+a1cos(t)+b1sin(t)+a2cos(2t)+b2sin(2t)+...+a∞cos(∞t)+b∞sin(∞t)=a0/2+n=1∑∞ancos(nt)+n=1∑∞bnsin(nt)(1)

a0=1π∫−ππf(t)dtan=1π∫−ππf(t)cos(nt)dtbn=1π∫−ππf(t)sin(nt)dt(2)a_0 = \frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt \\ a_n = \frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(nt)dt \\ b_n = \frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(nt)dt \tag{2} a0=π1∫−ππf(t)dtan=π1∫−ππf(t)cos(nt)dtbn=π1∫−ππf(t)sin(nt)dt(2)

求解a0a_0a0，对等式(1)(1)(1)两边求积分∫−ππdt\int_{-\pi}^{\pi}dt∫−ππdt，∫−ππ∑n=1∞bnsin(nt)dt=0\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_nsin(nt)dt=0∫−ππ∑n=1∞bnsin(nt)dt=0 ,∫−ππ∑n=1∞ancos(nt)dt=0\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_ncos(nt)dt=0∫−ππ∑n=1∞ancos(nt)dt=0

求解ana_nan，对等式(1)(1)(1)两边求积分∫−ππcos(kx)dt\int_{-\pi}^{\pi}cos(kx)dt∫−ππcos(kx)dt，化简。

求解bnb_nbn，对等式(1)(1)(1)两边求积分∫−ππsin(kx)dt\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)dt∫−ππsin(kx)dt，化简。

3.周期为2l的连续函数

f(t)=f(t+2l)f(t) = f(t+2l)f(t)=f(t+2l)，其傅里叶级数为：
f(t)=a0/2+∑n=1∞ancos(nωt)+∑n=1∞bnsin(nωt)(3)f(t) =a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty a_ncos(n\omega t) + \sum_{n=1}^\infty b_nsin(n\omega t) \tag {3} f(t)=a0/2+n=1∑∞ancos(nωt)+n=1∑∞bnsin(nωt)(3)
利用周期为2π2\pi2π的傅里叶级数进行换元（换元法），令x=πt/l,t=lx/πx = \pi t/l,t = lx/\pix=πt/l,t=lx/π。

构造函数:f(t)=f(lx/π)=g(x)f(t) = f(lx/\pi) = g(x)f(t)=f(lx/π)=g(x)，根据(1)和(2)，g(x)g(x)g(x)可以分解为傅里叶级数。将x替换为t，进行化简。其中，周期T=2l,ω=2πTT=2l,\omega = \frac {2\pi}TT=2l,ω=T2π
a0=2T∫−llf(t)dtan=2T∫−llcos(nωt)f(t)dtbn=2T∫−llsin(nωt)f(t)dt(4)a_0 = \frac 2T \int_{-l}^l f(t)dt \\ a_n = \frac 2T \int_{-l}^l cos(n\omega t)f(t)dt \\ b_n = \frac 2T \int_{-l}^l sin(n\omega t)f(t)dt \tag{4} a0=T2∫−llf(t)dtan=T2∫−llcos(nωt)f(t)dtbn=T2∫−llsin(nωt)f(t)dt(4)
4.连续周期傅里叶级数的指数形式

欧拉公式：eiθ=cos(θ)+isin(θ)e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)eiθ=cos(θ)+isin(θ)，

正弦函数可以使用指数表示：cos(θ)=eiθ+e−iθ2,sin(θ)=−i(eiθ−e−iθ2)cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},sin(\theta) = -i(\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2})cos(θ)=2eiθ+e−iθ,sin(θ)=−i(2eiθ−e−iθ)

将正弦函数带入公式（4），得：
f(t)=1T∑n=−∞∞CneinωtCn=∫0Tf(t)e−nωtdt(5)f(t) = \frac 1T \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega t} \\ Cn =\int_{0}^{T}f(t)e^{-n\omega t} dt\tag{5} f(t)=T1n=−∞∑∞CneinωtCn=∫0Tf(t)e−nωtdt(5)
其中，CnC_nCn为傅里叶系数，ω=2πT\omega = \frac {2\pi}Tω=T2π为基角频率，TTT为周期。

5.连续函数的傅里叶变换

公式(5)中，函数的周期为T，若T−>∞T->\inftyT−>∞，则函数并不是周期函数，ω=2πT\omega = \frac {2\pi}Tω=T2π,T−∞,ω−0,ω=nx+1ω−nxω=ΔωT-\infty,\omega-0,\omega = n_{x +1}\omega -n_{x}\omega = \Delta\omegaT−∞,ω−0,ω=nx+1ω−nxω=Δω。

感受现象，若为非周期函数，函数的周期趋近于∞\infty∞，而ω、Δω\omega、\Delta\omegaω、Δω趋近于0，离散的频谱变成了连续的频谱。

根据积分的基本定义，黎曼和，即∫abf(x)dx=(f(b)−f(a))∗Δx\int_a^bf(x)dx = (f(b) - f(a)) *\Delta x∫abf(x)dx=(f(b)−f(a))∗Δx，对f(t)f(t)f(t)和CnC_nCn进行变换：
Cn=∫0Tf(t)e−nωtdt=∫−∞∞f(t)e−nωtf(t)=1T∑n=−∞∞Cneinωt=Δω2π∑n=−∞∞Cneinωt=12π∫−∞∞Cneinωtdnω=12π∫−∞∞F(ωx)eiωxtdωx(6)Cn =\int_{0}^{T}f(t)e^{-n\omega t} dt \\ = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-n\omega t} \\ f(t) = \frac 1T\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t} \\ = \frac {\Delta\omega}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t} \\ = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty C_n e^{in\omega t}dn\omega \\ = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega_x) e^{i\omega_x t}d\omega_x \tag{6} Cn=∫0Tf(t)e−nωtdt=∫−∞∞f(t)e−nωtf(t)=T1n=−∞∑∞Cneinωt=2πΔωn=−∞∑∞Cneinωt=2π1∫−∞∞Cneinωtdnω=2π1∫−∞∞F(ωx)eiωxtdωx(6)
其中记nω=ωx,Cn=F(ωx)n\omega = \omega_x,Cn = F(\omega_x)nω=ωx,Cn=F(ωx)。

总结，连续函数的傅里叶变换为
F(ωx)=∫−∞∞f(t)e−iωxtd(t)f(t)=12π∫−∞∞F(ωx)eiωxtdωx(7)F(\omega_x) =\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega_x t} d(t)\\ f(t)= \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega_x) e^{i\omega_x t}d\omega_x \tag{7} F(ωx)=∫−∞∞f(t)e−iωxtd(t)f(t)=2π1∫−∞∞F(ωx)eiωxtdωx(7)
6.周期序列的离散傅里叶变换

fN(k)f_N(k)fN(k)表示一个周期为N的离散时间序列，fN(k)=fN(k+lN)f_N(k) = f_N(k+lN)fN(k)=fN(k+lN)，对于连续周期信号，可以分解为一系列角频率为nω(n=0,1,−1,2,−2,...,)n\omega(n=0,1,-1,2,-2,...,)nω(n=0,1,−1,2,−2,...,)的虚指数之和eiωnte^{i\omega n t}eiωnt，同样周期为N的序列同样可以展开为多个虚指数之和eiωnk=ein2πNke^{i\omega n k} = e^{i n \frac {2\pi}N k}eiωnk=einN2πk，这些虚指数序列需要满足：ein2πNk=ei(n+lN)2πNke^{i n \frac {2\pi}N k} = e^{i (n + lN) \frac {2\pi}Nk}einN2πk=ei(n+lN)N2πk , (理由，离散序列的频域是周期的，周期同样为N)，因此周期序列fN(k)f_N(k)fN(k)的傅里叶级数展开式可以使用有限项表示，取第一个周期n=0,1,2,...,N−1n=0,1,2,...,N-1n=0,1,2,...,N−1，则其展开式可以写为：
fN(k)=∑k=0N−1CnejnωkCn=1N∑k=0N−1fN(k)e−jnωk=1NFn(nω)Fn(nω)=∑k=0N−1fN(k)e−jnωk(8)f_N(k) = \sum_{k=0}^{N-1}C_ne^{jn\omega k} \\ C_n = \frac 1N \sum_{k=0}^{N-1}f_N(k)e^{-jn\omega k} = \frac 1N F_n(n\omega) \\ F_n(n\omega) = \sum_{k=0}^{N-1}f_N(k)e^{-jn\omega k} \tag{8} fN(k)=k=0∑N−1CnejnωkCn=N1k=0∑N−1fN(k)e−jnωk=N1Fn(nω)Fn(nω)=k=0∑N−1fN(k)e−jnωk(8)
公式8中，ω=2πN\omega=\frac {2\pi}{N}ω=N2π是一个常数，离散傅里叶系数变换以及逆变换。

7.有限长序列的离散傅里叶变换 （周期）

为了引用周期序列的知识，将有序序列f(n)f(n)f(n)延扩为周期序列fN(k)f_N(k)fN(k).

对于周期序列fn(k)f_n(k)fn(k)，第一个周期k=0,...,N−1k=0,...,N-1k=0,...,N−1定义为主值区间，可以将f(k)f(k)f(k)看作fN(k)f_N(k)fN(k)的主值区间序列。根据公式8，周期序列的傅里叶变换都只限于主值区间，因而将种种变换引申到相同的有限长序列，定义为有限长序列的离散傅里叶变换。
F(n)=DFT[f(k)]=∑k=0N−1f(k)e−i2πNknf(k)=iDFT[F(n)]=1N∑k=0N−1f(k)ei2πNknF(n) = DFT[f(k)] = \sum_{k=0}^{N-1}f(k)e^{-i\frac {2\pi}Nkn} \\ f(k) = iDFT[F(n)] = \frac 1N \sum_{k=0}^{N-1}f(k)e^{i\frac {2\pi}Nkn} F(n)=DFT[f(k)]=k=0∑N−1f(k)e−iN2πknf(k)=iDFT[F(n)]=N1k=0∑N−1f(k)eiN2πkn

参考：
https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1 （连续傅里叶变换的推导）
http://www.elecfans.com/soft/49/52/2020/202002131164102.html（离散傅里叶变换的由来）

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