光滑曲线_第九章曲线积分与曲面积分第六节高斯公式和斯托克斯公式

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1、高斯公式：设空间有界闭区域Ω是分片光滑的闭曲面Σ围城，函数

、

在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或者：

（注意，有时候为了较好地应用高斯公式，对于一些没有闭合的区域Ω，可以作辅助面，使其变成闭合，然后就可以使用高斯公式了，但是记得把加上的辅助面的积分给减去）

2、斯托克斯公式：设Σ为分片光滑的有向曲面，其边界曲线Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，函数

；

在一个包含曲面Σ的空间区域内具有连续的一阶偏导数，则有

或者

公式可以用行列式记忆比较方便：

3、空间曲线积分与路径无关的情况：

设Ω为空间的单连通区域（即Ω内任一比曲线总可以张一片完全属于Ω的曲面），若

；

在Ω上有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价（即可以互相推导）

（1）对Ω内任一分取光滑的闭曲线Γ，有

（2）对Ω内任一分段光滑的曲线Γ，曲线积分：

与路径无关。

（3）

是Ω内某三元函数u的全微分，即

（4）

，

在Ω内处处成立

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