数的拆分

以下为个人对赛题的一个分析，不能保证正确性，如果认为分析有问题，请批评指正。

最终代码有还有问题，为开根号的精度问题，如果是开3，7次根等，则可能误判。

问题描述

问题分析

分析一

问题正整数aia_iai能否表示为x1y1∗x2y2x_1^{y_1}*x_2^{y_2}x1y1∗x2y2，一个朴素的想法是获取到 10910^{9}109 次方的素数表，然后用a去模素数表（prime_table）中的元素，当余数为零时y1加1,a=a//prime_table[i]a = a// prime\_table[i]a=a//prime_table[i] 直到余数不为零，即算出了x1,y1x_1,y_1x1,y1同理算出x2,y2x_2,y_2x2,y2。即

# 获取素数表，为确定性算法。从小到大。
def get_prime_table(n):prime_table = [2, 3, 5, 7]if n <= 10:return prime_tablesqrt_n = math.floor(math.sqrt(n)) + 1for i in range(11, n + 1, 2):j = 0len_prime_table = len(prime_table)flag = Truewhile j < len_prime_table and prime_table[j] < sqrt_n:if i % prime_table[j] == 0:flag = Falsebreakj += 1if flag:prime_table.append(i)return prime_table
# n为题目中的a，prime_table为按序排列的素数表
def can_frac(n, prime_table):prime_len = len(prime_table)  # 素数表元素个数。n_sqrt = math.floor(math.sqrt(n)) + 1  # 根号n范围内有无数的平方满足条件。i = 0# 遍历素数表while i < prime_len and prime_table[i] <= n_sqrt:x1 = ny1 = 0# 算出x1^{y1}while x1 % prime_table[i] == 0:x1 = x1 // prime_table[i]y1 += 1if y1 == 1: return False  # 如果y1等于1不满足题意if x1 == 1:  # 如果刚好为a=x1^{y1}次方的情况。print(prime_table[i], y1)return True# 此时 x1 为 a//x1^{y1}。# 判断第二个数是否满足题意i += 1  # i+1之前不可能有满足的数可以整除x1了if y1 >= 2:y1 = 0while x1 % prime_table[i] == 0:x1 = x1 // prime_table[i]y1 += 1# 如果第二个数为满足题意的数，则x1为1，y1为大于等于2的数if y1 >= 2 and x1 == 1:return Trueelse:return Falsereturn False# 处理题目输入
n = int(input())
test_list = []
for i in range(n):test_list.append(int(input()))
print(test_list)start = time.time()
#获取素数表
pt1 = get_prime_table(10 ** 5)
for e in test_list:if can_frac(e, pt1):print("yes")else:print("no")
end = time.time()
print(end - start)
# 0.10699892044067383

以上算法只能处理a<=109a<=10^9a<=109的情况。主要耗时来源于获取素数表，求10510^5105范围内素数表大约耗时0.10699892044067383

难点在于当数位101810^{18}1018次方时获取素数表将非常耗时，最坏情况为一个数x1x_1x1非常接近10910^{9}109，这个数的平方为a，即a=x12a=x_1^2a=x12，如果是用以上方法查素数表，首先表的素数范围为10910^{9}109内的素数，其次x1x_1x1要从2遍历到素数表末尾才能获取到a=x12a=x_1^2a=x12。这两个步骤较为耗时的是获取10910^9109的素数表。

start = time.time()
pt1 = get_prime_table(10 ** 6)
end = time.time()
print(end - start)
# 2.228759288787842
# 10 ** 7
#44.911319732666016

可见当获取到10710^7107的素数表时，就已经不能满足题目要求的5s要求了。

所以只能考虑素数表在10510^5105范围内的情况。

分析二

据题，有两种情况满足题意。

情况一

aaa是某个素数的k次方，假设a=x1ka = x_1^{k}a=x1k，其中x1x_1x1为素数，k大于等于2。

此时考虑x1x_1x1的范围，2≤x1≤a≤1018/22\le x_1\le \sqrt a \le 10^{18/2}2≤x1≤a≤1018/2,如果有x1x_1x1满足题意，必然有x1=akx_1 = \sqrt[k]ax1=ka 且x1x_1x1是整数。

只要知道k的范围遍历即可。易知当x1=2x_1 = 2x1=2时k有最大值为⌊log2a⌋+1\lfloor log_2^{a}\rfloor+1⌊log2a⌋+1;当x1=a1/2x_1=a^{1/2}x1=a1/2时k有最小值2。

情况一解法：

即使a=1018a = 10^{18}a=1018,也只需要遍历60步

# 判断是否为情况1,即为一个素数的k次方的情况。
def is_case_single_num(n):k = math.floor(math.log2(n)) + 1for i in range(2, k + 1):#python 区间左闭右开 if math.pow(n, 1 / i).is_integer():# 这里存在问题print(math.pow(n, 1 / i), i)#打印中间结果return Truereturn False

情况2

如果x1,x2≠1x_1,x_2\neq1x1,x2=1,且y1,y2≥2y_1,y_2\ge 2y1,y2≥2,x1,x2x_1,x_2x1,x2为素数。

考虑x1,x2x_1,x_2x1,x2取到最大的情况（为了查表，求出素数表的上界），显然当y1,y2=2y_1,y_2=2y1,y2=2时，x1,x2x_1,x_2x1,x2有最大值。

即a=(x1×x2)2a =(x_1\times x_2)^2a=(x1×x2)2,此时x1x2≤1018/2=109x_1x_2\le10^{18/2}=10^9x1x2≤1018/2=109,不妨假设x1x_1x1为较小值，x2x_2x2为较大值。如果要满足题意，x1x_1x1确定了则x2x_2x2就确定了，即x1=k,x2=a/x1x_1=k,x_2=\sqrt a/x_1x1=k,x2=a/x1,并且当x1x_1x1增加时x2x_2x2就会减小，并且最多当x1=x2x_1 = x_2x1=x2时如果仍无解，那么就不会有解了。

当x1=x2时x_1=x_2时x1=x2时有a=(x1)4a=(x_1)^4a=(x1)4，那么x1x_1x1遍历的范围为[2,a4=1018/4=104.5][2,\sqrt[4]a=10^{18/4}=10^{4.5}][2,4a=1018/4=104.5],所以素数表的范围只需要最多到10510^5105即可。

通过以上分析获取到x1x_1x1所需要遍历素数表的范围后，即可轻易解出x1,y1x_1,y_1x1,y1,而且解出x1,y1x_1,y_1x1,y1后，a/x1y1a/x_1^{y_1}a/x1y1就退化为了情况1。至此分析完毕。

完整代码

def get_prime_table(n):prime_table = [2, 3, 5, 7]if n <= 10:return prime_tablefor i in range(11, n + 1, 2):j = 0len_prime_table = len(prime_table)flag = Truewhile j < len_prime_table and prime_table[j] < math.floor(math.sqrt(n)) + 1:if i % prime_table[j] == 0:flag = Falsebreakj += 1if flag:prime_table.append(i)return prime_table# 判断是否为情况1,即为一个素数的n次方的情况。
def is_case_single_num(n):# n_div = math.floor(math.sqrt(n)) + 1k = math.floor(math.log2(n)) + 1for i in range(2, k + 1):if math.pow(n, 1 / i).is_integer():print(math.pow(n, 1 / i), i)return Truereturn Falsedef can_frac(n, prime_table):x1 = ny1 = 0# 判断是否为情况1if is_case_single_num(n):return True# n_sqrt4 = n开4次根n_sqrt4 = math.floor(math.sqrt(math.floor(math.sqrt(n)) + 1)) + 1prime_len = len(prime_table)i = 0# 遍历素数表while i < prime_len and prime_table[i] < n_sqrt4:# 算出x1^{y1}while x1 % prime_table[i] == 0:x1 = x1 // prime_table[i]y1 += 1if y1 == 1: return False  # 如果y1等于1不满足题意# 退化为情况1if y1 >= 2:if is_case_single_num(x1):print(prime_table[i], y1)return Trueelse:return Falsei += 1return Falsen = int(input())
test_list = []
for i in range(n):test_list.append(int(input()))
start = time.time()
# xi 一定小于10^{4.5}，素数表
pt1 = get_prime_table(10 ** 5)
for e in test_list:if can_frac(e, pt1):print("yes")else:print("no")
end = time.time()
print(end - start)

100000条耗时：6.964517831802368

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