高数随手记:反常积分的收敛和扩散
概念理解
以y=1/(x^2)为例,本章节就是当上/下限无穷时(红色区域)或有瑕点时(绿色区域,0为瑕点)求函数围成的面积。
证明广义积分收敛的方法
收敛和扩散概念的引入
将无穷限广义积分或瑕积分(被积函数连续)转变为积分上限/下限函数
(假设b为瑕点)
假如极限存在,称反常积分收敛。
若极限不存在,称反常积分扩散。
求原函数极限法
如上所示,直接求被积函数的原函数,再根据牛顿莱布尼茨公式求极限。
比较审敛法:用函数值的大小判断
(如果是瑕积分,只需把上下限改变即可。)
注意f(x)和g(x)大于0
大函数收敛,小函数就收敛。
小函数扩散,大函就数扩散。
柯西判别法:把函数和1/x^p比较
1/(x^p)函数的特殊性质
在[a,∞](a>0)
p>1:反常积分是收敛的。
p<=1:反常积分是无限的。
在(0,a](a<0)
p>1:反常积分是无限的。
p<=1:反常积分是收敛的。
判断原则和比较审敛法一致。
注意函数收敛不等于反常积分收敛,1/(x^2)不是收敛的,1/(x^2)在(0,a](a>0)反常积分扩散,1/(x^2)在[a,∞)反常积分收敛。
实际上我们更常用比较审敛法和柯西判别法的极限形式。
比较审敛法的极限形式:比较两函数的量级。
(如果是瑕积分就将x->∞换成x->a+)
(i)c在0到∞,两者反常积分收敛。
(ii)c=0,f(x)的量级低于g(x)。如果g(x)的反常积分收敛,那么f(x)的反常积分也收敛。
(iii)c=∞,f(x)的量级高于g(x)。如果g(x)的反常积分扩散,那么f(x)的反常积分也收散。
柯西测试的极限形式:把1换成入,x^p乘过去。
瑕积分就把x->∞变为x->a。
x^p变成(x-a)^p,注意p的取值对应情况刚好和无穷积分相反
无穷积分
p>1,入>=0且不等于正无穷,反常函数收敛。
p<=1,入>0可以等于正无穷,反常函数扩散。
入为一个常数:此时1/x^p和函数同一个量级,对p范围的判断就可以判断出函数是否收敛。
入为0:说明函数是收敛函数,收敛函数的无穷限反常积分必然收敛。
入为无穷:此时1/x^p的量级小于函数。
关键就是构造出x^p使得结果为常数或为0。
阿贝尔判断:判断函数相乘结果是否收敛。
一个收敛,一个单调有界,瑕积分和无穷限积分区别在于区间范围不同。
分段证明收敛性
上下限无穷/上限为无穷,下限为瑕点/但被被积函数的区间存在瑕点时,分开证明收敛性。
两侧无穷限广义积分收敛的条件:证明任一一侧无穷限广义积分都收敛。
错误例子
不能说明无极限广义积分收敛
其中a的选择不影响结果,证明过程
判断上侧趋于无穷的定积分收敛与否小技巧
绝对值和收敛性
f(x)的反常积分<|f(x)的反常积分|<|f(x)|的反常积分
结合图像可以验证上面公式
由上面的公式可用比较收敛法证明收敛性
绝对收敛:如果|f(x)|反常积分收敛,f(x)反常积分就叫绝对收敛。
绝对收敛也收敛,可以通过比较收敛法证明。
柯西,比较收敛法的思考。
对函数量级的比较是对大小的推广,因为它允许g(x)局部小于的情况。
直接比较审敛法是最好用的。不必使用洛必达,且在同量级选择的范围更广,可以使用更高的量级如e^x
柯西为我们选择了一个特别的函数充当g(x):(1/x^p)
1/(x^p)
比较函数f(t)和 变化速度
如果f(t)变化快于1/t,如f(t)=1/(t^2) ,F(t)=(-1)*t^(-1)是趋于正无穷收敛的
如果f(t)变化小于1/t,如f(t)=1/(t^(1/2)),F(t)=2*t^(1/2)是趋于正无穷是扩散的
但也有特殊情况,一些函数变化率快于1/t慢于1/t^a(a>0),定积分收敛,如:
无论是量级的比较还是大小比较,都会用到相似的原则进行判定。
大收敛,小收敛
小扩散,大扩散。
处理函数常用技巧
三角函数和1放缩
拆分分母构造
高低次转换实现估算和构造(上是估算,下是构造)
局部放缩,把区间拆开证明
直接放缩是很难的,去接近瑕点的一段,将cos(x)放缩成实数。
高数随手记:反常积分的收敛和扩散相关推荐
- 高数知识梳理——反常积分的敛散性
反常积分的敛散性 反常积分 定义:积分区间无限的定积分成为反常积分(广义积分). eg. ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x \int_1^{+\infty} {{1}\over{x^2}}dx ∫1 ...
- 考研高数——反常积分敛散性的判别的两个重要结论
对于反常积分敛散性的判别,我们需要掌握两个重要结论,并能熟练地进行无穷小.无穷大比阶.1 注意到: ∫1xpdx=1(p−1)xp−1=1p−1⋅e(1−p)lnx\int \frac{1}{x^p ...
- 2021考研数学 高数第五章 定积分与反常积分
文章目录 1. 背景 2. 定积分 2.1. 定积分的定义 2.2. 定积分的性质 2.3. 积分上限函数 2.4. 定积分的计算 2.4.1. 牛顿-莱布尼茨公式 2.4.2. 换元积分法 2.4. ...
- 高数笔记(十一):反常积分,柯西-施瓦茨不等式,闵可夫斯基不等式,定积分的应用
写在前面 这是本人之前考研的高数手写笔记,工科学硕数一考了146(满分150),笔记有一定参考价值,欢迎大家收藏借鉴. 不喜勿看,作为个人笔记电子档留存. 数学不好是原罪--高等数学笔记(汇总版) 高 ...
- [数学]——一文记录高数、线代、概统知识点
目录 高数 线代(50min) 概统(50min) 补充 高数 高数 数列和函数极限的定义: 数列:任意ε,存在N,n>N时,|x-极限| < ε 函数:任意ε,存在δ,0<|x-x ...
- 【高数】高数第一章节——极限无穷连续与间断
高数第一章节--极限&无穷&连续与间断 0.博主高数相关章节目录 1.数列极限 1.1 定义(important) 1.2 例题-数列极限 1.3 收敛数列性质 1.3.1 有界性 1 ...
- 漫谈高数——泰勒级数的物理意义
全世界有3.14 % 的人已经关注了 数据与算法之美 高等数学干吗要研宄级数问题? 是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深? No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题,他们的求解过程用一种通用的方法 ...
- 分段概率密度矩估计_考研数学:高数、线代、概率3科目知识框架梳理
该楼层疑似违规已被系统折叠 隐藏此楼查看此楼 首先要确保常考题型,常考知识点非常熟练.下面从高等数学.线性代数.概率统计三个模块进行阐述. 高等数学部分 1.函数的极 限;数列的极 限;无穷小及阶的问 ...
- 曲线积分与曲面积分总结_高数下册||知识点总结
知识点总结 - 期末来临,你准备好了吗 - 高 等 数学 学 下 一转眼 又一学期即将结束 期末考试也悄悄地临近了 大家都准备好了吗 我们为大家带来了高等数学(下)的复习资料 来吧,展示! 1 向量代 ...
最新文章
- Mysql查询的一些操作(查表名,查字段名,查当月,查一周,查当天)
- madplay播放器移植
- Yahoo!的网站项目工作流程
- C语言“fread”函数的用法?
- Vue结合HTML5拖放API 实现目录拖拽~
- python 闭包中引用的变量值变更问题
- 一、开始动手开发网球平台
- 随机排列算法(Fisher-Yates)
- 配置嵌入式Servlet容器
- python语言是不是多模型语言_Python模型转换为Modelica模型的方法与流程
- 什么是分布式负载均衡 ?
- SVN服务器搭建和使用
- 2021租房合同样板
- 辛苦开发的 App 被山寨?阿里帮你为 APK 上把加固锁
- 40岁后学习编程是否太晚了?7点技巧让学习变得轻松有趣
- 【YOLOv5实战2】基于YOLOv5的交通标志识别系统-自定义数据集
- ListView 单条item刷新
- 【车道线检测论文】 LaneNet
- 什么是百度搜索引擎关键词快速排名上首页?
- 小步创想 产品经理 春招面经