量化交易学习笔记（4）：期望值
先讲一个例子：
比如现在有一个股票池，里面放了三只股票：A 、B、C。
其中A有1%的概率盈利200%，B有10%的概率盈利20%，C有89%的概率盈利5%。
我们手上有10000元，去买这三只股票，花4000买了A，花4000买了B，花2000买了C。
那么，
期望值 = 4000*0.01*2 + 4000*0.1*0.2 + 2000*0.89*0.05
= 80 + 80 + 89
= 249
再讲一个例子：
美国赌场中经常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的几率都是相等的。赌注一般压在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以将相当于赌注35倍的奖金和原赌注拿回（总共是原赌注的36倍），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。因此，如果赌注是1美元的话，这场赌博的期望值是：
结果是
也就是说，平均起来每赌一次就会输掉5.3美分。
再回头来讲什么是期望值。
期望值的定义：
期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）
学术定义：
1.期望值是指人们对所实现的目标主观上的一种估计；
2.期望值是指人们对自己的行为和努力能否导致所企求之结果的主观估计,即根据个体经验判断实现其目标可能性的大小；
3.期望值是指对某种激励效能的预测；
4.期望值是指社会大众对处在某一社会地位、角色的个人或阶层所应当具有的道德水准和人生观、价值观的全部内涵的一种主观愿望。
在概率和统计学中，一个随机变量的期望值是变量的输出值乘以其机率的总和，换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
这里提到了随机变量，我们在前文里提到了随机变量。
在上面两个例子里，随机变量都属于离散型随机变量，而且是有限集合。
两个例子，第二个例子比较好理解，先说第二个例子：
在第二个例子里，随机变量的输出值就非常明显，它就是输亏掉赌注，赢得到赌注和35倍的奖金，几率就是37/38和1/38，总和就是 =-0.97368+0.94737=-0.02631。这里算出来和例子里不一样，因为我认为赢回来的赌注，必须计算在概率里。
在第一个例子里，是课堂老师讲的例子，我认为不是非常实际，因为正常来说还会有亏损的可能性，他这个例子相当于成功就赚，不成功全身而退，或者这个值已经是期望值了。按学术定义来理解，这个例子里，首先得算单只股票的期望值，三只股票分别是：
投资一元给A，期望值=2*0.01+0*0.99=0.02
投资一元给B，期望值=0.2*0.1+0*0.9=0.02
投资一元给C，期望值=0.05*0.89+0*0.11=0.0445
然后，根据随机变量的定义，几率之和应该是100%，在上一个层次，我们去寻找几率，发现在金额里（只是说勉强算是，因为几率应该和人为无关，但这个“人为”，另外一个角度来讲，也是随机的一个数字），也就是说：
就是40%会投给A，40%投给B，20%投给C
那么，投资一元的期望值：
期望值=0.02*0.4+0.02*0.4+0.0445*0.2=0.008+0.008+0.0089=0.0249
那么，投资10000元，它的期望值 = 10000 * 0.0249 = 249
在投资上，正常来说，算到这种地步的话，我现在个人会直接选择C，不会再做资产配置这类的均衡做法，因为期望值里理论上已经包含了亏损的可能性。
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