生成函数(母函数)——目前最全的讲解

生成函数(母函数)

什么是生成函数：wiki上的介绍

在数学中，某个序列(an)n∈N\large {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}(an)n∈N 的母函数（又称生成函数，英语：Generating function）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

母函数，又称生成函数，是ACM竞赛中经常使用的一种解题算法，常用来解决组合方面的题目。

生成函数的定义：g(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+...\large g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...g(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+...称g(x)\large g(x)g(x)是序列a0,a1,a2,...a_0,a_1,a_2,...a0,a1,a2,...的生成函数。

小题

一、

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

我们用母函数来解决这个问题

1个1克砝码可以看成1+x^1,1表示不取，x^1表示取一个，以下同理
1个2克砝码可以看成1+x^2
1个3克砝码可以看成1+x^3
1个4克砝码可以看成1+x^4

那么生成函数就是

g(x)=(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10\large g(x)=(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)\\=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^{10}g(x)=(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10

这个函数中可以看出重量为3克的方案有两种，重量为7的方案有两种，重量为10的有1种。

不难发现指数表示重量，系数表示方案数。

二、

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

那么生成函数就是g(x)=(1+x+x2+x3+...)(1+x2+x4+x6+...)(1+x3+x6+x9+...)\large g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)g(x)=(1+x+x2+x3+...)(1+x2+x4+x6+...)(1+x3+x6+x9+...)

以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

三、

设有n个标志为1,2,…,n的网袋，第i个(i=1,2,…n)网袋里放有ni个球。不同网袋里的球是不同的，而同一网袋里的球则是没有差别的，认为是相同的。询问从中取r个球的方案数。

设生成函数g(x)=(1+x1+x2+...+xn1)(1+x1+x2+...+xn2)...\large g(x)=(1+x^1+x^2+...+x^{n1})(1+x^1+x^2+...+x^{n2})...g(x)=(1+x1+x2+...+xn1)(1+x1+x2+...+xn2)...

最后指数为r的那一项的系数就是方案数。

总结一下，生成函数大多用来解决有限或无限物体的组合方案。

给出通用模板，其实就是暴力拆这个函数罢了。

#include<cstdio>
using namespace std;
int N,g[2][125];
int main(){while(~scanf("%d",&N)){for(int i=0;i<=N;++i) g[1][i]=1,g[0][i]=0;for(int i=2;i<=N;++i){for(int j=0;j<=N;++j)for(int k=0;k<=N-j;k+=i) g[i&1][j+k]+=g[1-(i&1)][j];for(int j=0;j<=N;++j) g[1-(i&1)][j]=0;}printf("%d\n",g[N&1][N]);}return 0;
}

以上是一些基础，接下来给一道难题（反正我一点也不会，逃）：BZOJ4001

不会也没有关系，我们慢慢来。

特殊情况

当a={1,1,1,1,...}a=\{1,1,1,1,...\}a={1,1,1,1,...}时f(x)=1+x+x2+x3+...=11−x\large f(x)=1+x+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}f(x)=1+x+x2+x3+...=1−x1

这又是为什么呢？

我们发现f(x)\large f(x)f(x)是一个等比数列

又因为x∈(−1,1)x∈(-1,1)x∈(−1,1)

所以当n→∞n \to \inftyn→∞时，1−xn1−x\frac{1-x^n}{1-x}1−x1−xn中，xn→0x^n \to 0xn→0，所以f(x)=1+x+x2+x3+...=11−x\large f(x)=1+x+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}f(x)=1+x+x2+x3+...=1−x1

同理f‘(x)=1+2x+3x2+4x3+...=1(1−x)2=(11−x)2=f2(x)\large f`(x)=1+2x+3x^2+4x^3+...=\frac{1}{(1-x)^2}=(\frac{1}{1-x})^2=f^2(x)f‘(x)=1+2x+3x2+4x3+...=(1−x)21=(1−x1)2=f2(x)

f‘‘(x)=1+3x+6x2+10x3+15x4...=1(1−x)3=f3(x)\large f``(x)=1+3x+6x^2+10x^3+15x^4...=\frac{1}{(1-x)^3}=f^3(x)f‘‘(x)=1+3x+6x2+10x3+15x4...=(1−x)31=f3(x)

推广1(1−x)k=∑i∞Ci+k−1k−1xi=fk(x)\large \frac{1}{(1-x)^k}=\sum_{i}^{\infty} C_{i+k-1}^{k-1}x^i=f^k(x)(1−x)k1=∑i∞Ci+k−1k−1xi=fk(x)

用组合数学中的所谓“隔板法”求一下，第iii项的系数就是Ci+k−1k−1C_{i+k-1}^{k-1}Ci+k−1k−1

斐波那契通项公式

下面我们用生成函数求斐波那契数列的通项公式：

首先f(x)=x+x2+2x3+3x4+5x5+...\large f(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+...f(x)=x+x2+2x3+3x4+5x5+...

将f(x)f(x)f(x)乘上个xxx，然后相减

f(x)−x∗f(x)=(x+x2+2x3+3x4+...)−(x2+x3+2x4+3x5+...)=x+x3+x4+2x5+3x6=x+x2f(x)\large f(x)-x*f(x)=(x+x^2+2x^3+3x^4+...)-(x^2+x^3+2x^4+3x^5+...)=x+x^3+x^4+2x^5+3x^6=x+x^2f(x)f(x)−x∗f(x)=(x+x2+2x3+3x4+...)−(x2+x3+2x4+3x5+...)=x+x3+x4+2x5+3x6=x+x2f(x)

解f(x)f(x)f(x)得f(x)=x1−x−x2f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}f(x)=1−x−x2x

然后如何还原成序列呢？

先因式分解

x1−x−x2=x(1−1−52x)(1−1+52x)\large \frac{x}{1-x-x^2}=\frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}1−x−x2x=(1−21−5x)(1−21+5x)x

用裂项法1n(n+k)=1k(1n−1n+k)\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})n(n+k)1=k1(n1−n+k1)得

x(1−1−52x)(1−1+52x)=1(1−1−52x)((1−1−52x+(−5x))x=1−5(11−1−52x−11−1+52x)=−1511−1−52x+1511−1+52x\large \frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}\\ \large=\frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)((1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+(-\sqrt{5}x))}x\\ \large=\frac{1}{-\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}-\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x})\\ \large=-\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}+\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}(1−21−5x)(1−21+5x)x=(1−21−5x)((1−21−5x+(−5x))1x=−51(1−21−5x1−1−21+5x1)=−511−21−5x1+511−21+5x1

把他分裂成等比数列的形式。

an=−15(1−52)n+15(1+52)n\large a_n=-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n+\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^nan=−51(21−5)n+51(21+5)n

这就是斐波那契数列通项公式。

终于写完了，接下来就是多刷例题训练了。

HDU1028

HDU1085

洛谷P2000

BZOJ3028

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