104 - Arbitrage

这道题费了我相当的时间。

题目要求找到一个profit > 1.01的套汇序列，但有多个的情况时，要求输出序列最短的一条。

开始觉得很像Floyd-Warshall 算法，但试着开写了才发现，对于怎么控制得到最短序列非常有玄机。最后还是在UVa的论坛里找到了一个好帖，给出了一个 O(n⁴) 的算法，并给了非常详细的解释。原帖在这里，请看 gits 的回帖。

用 profit(i, j, step) 存放“由 i 经过 step 步套汇得到 j 可以得到的最大profit值”。则有以下递推式：

profit(i, j, step) = profit(i, k, step-1) * profit(k, j, 1); // 当profit(i, k, step-1) * profit(k, j, 1) > profit(i, j, step)

递推初始值：profit(i, i, 1) = 1.0

另外，使用 Floyd-Warshall 算法往往要记录回溯路径（除非不需要得到的序列）。

这里使用一个through(i, j, step) 来存放“若由 i 经过 step 步套汇得到 j，j 前一个货币是 k”。这样可以在最后用一个stack把这个反向表示的路径反转过来输出。

最后要说的是在 Floyd-Warshall 算法运行过程中一但发现算出的 profit > 1.01，立即中止运算并输出会使结果快上一倍左右。但对整体算法复杂度没有太大影响。

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// // 104 - Arbitrage // Copyright (c) 2010 by Bo-wen Feng // balonfan@gmail.com // #include <set> #include <map> #include <list> #include <queue> #include <stack> #include <vector> #include <string> #include <sstream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <limits> #include <utility> #ifndef ONLINE_JUDGE #include <fstream> std::ifstream cin("in.txt"); std::ofstream cout("out.txt"); // std::ofstream cout(stdout); #else #include <iostream> #endif typedef long long llong; typedef unsigned long long ullong; typedef long double ldouble; using namespace std; #define MAXN 20 double profit [MAXN][MAXN][MAXN + 1]; int through[MAXN][MAXN][MAXN + 1]; int nDim; int main(int argc, char* argv[]) { for(;;) { if(!(cin>> nDim)) break; for(int i = 0; i < nDim; ++i) for(int j = 0; j < nDim; ++j) for(int step = 2; step <= nDim; ++step) profit[i][j][step] = 0.0; // get the input for(int i = 0; i < nDim; ++i) { profit[i][i][1] = 1; through[i][i][1] = i; for(int j = 0; j < nDim - 1; ++j) { int k = j < i ? j : j+1; cin>> profit[i][k][1]; through[i][k][1] = i; } } int start = -1; int minStep = nDim + 1; // for each step, we use Floyd-Warshall algorithm to find max profit for(int step = 2; step <= nDim; ++step) for(int k = 0; k < nDim; ++k) for(int i = 0; i < nDim; ++i) for(int j = 0; j < nDim; ++j) { double newProfit = profit[i][k][step-1] * profit[k][j][1]; if(newProfit > profit[i][j][step]) { profit[i][j][step] = newProfit; through[i][j][step] = k; if(i == j && profit[i][j][step] > 1.01) { // if we find one, go print directly start = i; minStep = step; goto result; } } } result: if(start == -1) { cout<< "no arbitrage sequence exists/n"; } else { // reverse and output stack<int> path; path.push(start); int end = start; for(int s = minStep; s >= 2; --s) { end = through[start][end][s]; path.push(end); } cout<< (start + 1); while(!path.empty()) { cout<< " "<< (1 + path.top()); path.pop(); } cout<< "/n"; } } return 0; }

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