数学建模 based on 清风

层次分析法

原文链接（我的主页）：https://rick2pc.github.io/2022/07/30/AHP/
层次分析法，即：“The analytic hierarchy process”，简称AHP

1.建模比赛中最基础的模型之一；

2.主要解决评价类问题；

3.文章中所有图片来自于清风数学建模课程的课件。

我们用一个例子来介绍这个建模方法：

“填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。“

”请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。”

对于解决这种评价类问题，我们需要考虑以下三个问题：

我们的评价目标是什么？
我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

对于我们的例子，我们的回答：

为小明同学选择最佳的旅游景点。
三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
题目没给相关数据支撑，需要我们查阅相关的资料。

一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

在这里，我们假设5个指标：景点；花费；居住；饮食；交通。

然后我们构建一张权重表：

要注意， A H P AHP AHP的最终目的其实就是把这张表通过数学的方式（而不是凭直觉）进行填充，而不是小明自己随便填写，“在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。”（司守奎《数学建模算法与应用》）

我们首先来思考一下5个指标之间的权重：

一次性考虑五个之间的关系比较繁杂，我们可以两两进行比较，最终通过两两比较的结果来推算权重。

我们使用1~9表示两两指标之间的重要程度（这里的重要程度也可以理解为满意度），具体数字的含义，见下表：

其中，重点要注意一下最后一行那个倒数的含义。

好，我们将根据这个标度，来进行权重的计算：

1. 构建判断矩阵

首先，对于指标权重，我们会构建一个判断矩阵，再计算权重。如上图，记为 A A A，对应的元素为 a i j a_{ij} aij。该矩阵有如下特点：
- a i j a_{ij} aij 表示的意思是：与指标 j j j相比， i i i的重要程度。
- 当 i = j i=j i=j时，两个指标相同，因此同等重要，这就解释了主对角线元素为1。
- a i j > 0 a_{ij}>0 aij>0且满足 a i j ∗ a j i = 1 a_{ij}*a_{ji}=1 aij∗aji=1（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）。
但是，在实际建模的过程中，没有“小明”帮助我们填表，层次分析的这张表是交给“专家”填写的，但在比赛过程中往往很难找找到专家标准，一般只能自己填了，但是在论文中就别说出来了。
其次，对于三个地点在五个把不同标度分别的得分也是重复上面的操作，例如：

计算在景色方面苏杭，北戴河，桂林所占的得分，我们也是先构建一个判断矩阵，然后再计算权重：

但是，要注意一个问题：

苏杭=A 北戴河=B 桂林=C

苏杭的景色比北戴河好：A>B

苏杭和桂林景色一样好： A = C

北戴河比桂林景色好一点：B > C

这个时候，就会出现问题：如果A = C而A > B，那么C>B与第三条冲突，判断矩阵出现问题

判断矩阵出现了矛盾之处，我们称之为不一致现象。

何为一致矩阵？简单理解一下就是各行（列）之间成倍数关系，例：

若矩阵中每个元素 a i j > 0 a_{ij}> 0 aij>0且满足 a i j ∗ a j i = 1 a_{ij}*a_{ji}=1 aij∗aji=1，则我们称该矩阵为正互反矩阵。在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。

在正互反矩阵满足 a i j ∗ a j k = a i k a_{ij}*a_{jk}=a_{ik} aij∗ajk=aik,则我们称其为一致矩阵。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

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2. 根据判断矩阵计算权重

方法一：算数平均法求权重

第一步：将判断矩阵按照列进行归一化（每一个元素除以其所在列的和）；
第二步：将归一化的各列相加（按行求和）；
第三步：将相加得到的向量中每个元素除以 n n n即可得到权重向量。

例：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ow2EPXo2-1659151834963)(https://raw.githubusercontent.com/Rick2pc/Typora/main/202207301109075.jpg)]

方法二：几何平均法求权重

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量；
第二步：将新的向量的每个分量开n次方；
第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量。

方法三：特征值法求权重

假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。

第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量；
第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重。

三种方法说实话感觉没什么区别，写论文的时候选一种就好了，但是最好点明三种方法都算过了，然后在附录里面展现出最后的结果。

3. 计算得分

根据上节的三种方法，我们可以选择一种方法分别计算每个区块的得分，然后填入表中

（每一种颜色就代表了一个判断矩阵）

然后根据指标权重和每个地区在5个指标上的权重进行打分，例：

这样，我们就可以得到三个地区，在五个指标上的得分，进而来选择小明想要去的地方。

4. 总结

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