超几何分布检验（hypergeometric test）

2024-06-28 02:59:56

1，超几何分布的定义

总共有N件产品，其中M件次品，现在从中抽取n件做检查，抽到k件次品的概率分布服从超几何分布。
P(k,N,M,n)=((Mk))∗((N−Mn−k))(Nn)，其中k=0,1,2,...MP(k, N, M, n) = \frac{\left(M \choose k \right)*\left(N-M \choose n-k \right)}{N \choose n}，其中k = 0, 1, 2, ...MP(k,N,M,n)=(nN)((kM))∗((n−kN−M))，其中k=0,1,2,...M

2，超几何分布检验

给定一个超几何分布，算出比某个事件更极端的概率，可以称为超几何分布检验。
比如在两个圈的venn图中，想要计算overlap是否显著：

假设总共的基因个数为20000个，图中左边圈总数3005可以看成是次品的总个数，现从中抽取805个产品，需要计算得到次品个数大于等于265的概率。

思考过程：在次品个数是少数的情况下，overlap越高，从超几何分布来看，发生的概率越小。现在的overlap是265，可能会是过高的那种情况，那么现在计算overlap是265以及大于265的概率之和，如果这个概率很小，那就说明发生265这个事件不是随机的，进而就推出来了overlap为265是显著性高的一个事件。

3，fisher精确检验（Fisher exact-test）的原理基于超几何分布，实际就是超几何分布检验。

4，R包中实现

R中自带超几何分布的检验（stats包）

4.1 方法1

phyper(q-1, m, n, k, lower.tail=F) #备择假设为"more"的情况

4.2 方法2

1 - phyper(q-1, m, n, k) #备择假设为"more"的情况

Note:两种方法的参数如下：

q = the number of white balls drawn from the urn (without replacement)
q对应到抽样问题，为k

m = the number of white balls in the urn
m对应到抽样问题，为M

n = the number of black balls in the urn
n对应到抽样问题，为N-M

k = the number of balls drawn from the urn (sample size)
k对应到抽样问题，为n

Note: lower.tail使用的逻辑为： if TRUE (default), probabilities are P[X ≤ x], otherwise, P[X > x].

1, 当备择假设为"less"时，即关心左端的那一部分（overlap小的那一端），无论怎么设置lower.tail，q不用q-1替代；
2，当加上lower.tail=F参数时，备择假设为"more"时，即关心右端的那一部分（overlap大的那一端），无论怎么设置lower.tail，q必须用q-1替代。

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