小议中国剩余定理兼怀金庸

本是几个月前整理完备hash构造时打算写的，不意拖到了金庸先生去世。《射雕英雄传》中那一次精彩绝伦的数学启蒙，不亚于光明顶上张无忌出尽风头的擂台秀。瑛姑与黄蓉的几轮口头交锋，涵盖了n阶幻方，多元方程，级数以及数论等多个方面的经典问题。童稚时也许你和我一样背过“二四为肩，六八为足……”，是不是钦佩金庸先生一丝不苟的装逼与博学，中学时候你有没有觉得黄蓉说她和老爹能解地元到天元19次的方程有点吹牛逼。大学学计算机的同学不知道有没有人与我一样惊喜，黄蓉口中的“一道老题”又一次进了课本，在信息领域仍有广泛的应用，例如完备hash构造。

瑛姑顿了顿，说道：“这第三道题呢，说易是十分容易，说难却又难到极处。今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？我知道这是二十三，不过那是硬凑出来的，要列一个每数皆可通用的算式，却是想破了脑袋也想不出。”

黄蓉笑道：“这容易得紧。以三三数之，馀数乘以七十；五五数之，馀数乘以二十一；七七数之，馀数乘十五。三者相加，如不大于一百零五，即为答数；否则须减去一百零五或其倍数。”瑛姑在心中盘算了一遍，果然丝毫不错，低声记诵道：“三三数之，馀数乘以七十；五五数之……”黄蓉道：“也不用这般硬记，我念一首诗给你听，那就容易记了：三人同行七十稀，五树梅花一枝，七子团圆正半月，馀百零五便得知。”

这个题在不同地方用的题面不一样，有用韩信点兵为题面的，也有如上这样直接问有物不知其数……

涉及到的一条数论定理也有不同叫法，有的叫“孙子定理”的也有叫“中国剩余定理”的

我们先把原问题明确一遍

求x使得:

$\\ x\mod 3 = 2\\ x\mod 5 = 3\\ x\mod 7 = 2\\$

写成同余方程组的形式就是

$\\ x\equiv2(mod\ 3)\\ x\equiv3(mod\ 5)\\ x\equiv2(mod\ 7)\\$

瑛姑的方法很暴力，谓之“硬凑”，虽然效率不高却是最容易编程实现的，暴力循环即可。

再来看一下黄蓉的答案是怎么操作的

三三数之，馀数乘以七十；

五五数之，馀数乘以二十一；

七七数之，馀数乘十五；

三者相加，如不大于一百零五，即为答数；否则须减去一百零五或其倍数。

用式子表示就是

$x=(2*70+3*21+2*15)\mod 105$

那么这样操作为什么有效呢，虽然会背“三人同行七十稀”，这首诗为啥能行呢。

我们知道105是3,5和7的公倍数，如果x符合要求，那么x加上若干个105也是问题的解，对105取模只是为了得到最小的解。那么我们来看一下y=2*70+3*21+2*15是不是问题的解。

考虑第一个除项3，我们发现2*70 mod 3 = 2，而（3*21+2*15）可以看成一个整体，是被3整除的，无疑2*70+（3*21+2*15）mod 3 = 2，符合要求。对于第二个除项5，3*21 mod 5 = 3，而（2*70+2*15）被5整除，3*21+（2*70+2*15）mod 5 = 2，也是符合要求的。对于第三个除项7也是同理。

通过分析黄蓉给出的操作流程，我们可以总结出一个构造一元线性同余方程组的解的套路。就是已知m1,m2,m3是两两互质的正整数，求最小的正整数x，使它被m1,m2,m3除所得的余数分别为c1,c2,c3。求解思路就是我构造一个

$x = (M1+M2+M3) \mod lcm(m1,m2,m3)$

其中M1应该是一个能被m2和m3整除的数，并且满足

$M1\mod m1 = c1$

我们发现第一句诗“三三数之，馀数乘以七十”得到的2*70=140显然不是最小的M1，更小的M1是35，可以通过拿最小公倍数105辗转相除观察余数得到，即

$\\ 105\div3=35\\ 35\div33=11\cdots 2$

如果辗转相除最后余数不等于c1，那就把被除数扩大一下使它符合要求。例如黄蓉用70，被3除余1，那就把70扩大2倍用140。

中国剩余定理的完整表述可以在百科看到

而将中国剩余定理引入信息领域，用来构造完备hash，比较早的有台湾的张真诚，他在1984年写了一篇《The study of an ordered minimal perfect hashing scheme》。他与金庸一样能将老祖宗的智慧在新的领域以新的形式激活，作为华人深为之圈粉。

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