频次： 1
出处： 2009-16、

知识树位置：

无穷级数
- 常数项级数
  - 正项级数
  - 交错级数
  - 任意项级数
- 幂级数

知识点内容：

定义

设 { u n } \{u_n\} {un} 是一数列，则表达式
∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + ⋯ + u n + ⋯ \sum_{n=1}^{\infin}u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots n=1∑∞un=u1+u2+⋯+un+⋯

称为无穷级数，简称级数。
s n = ∑ i = 1 n u i s_n=\sum_{i=1}^nu_i sn=i=1∑nui

称为级数的部分和。

若部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn} 有极限 s s s，即 lim ⁡ n → ∞ s n = s \lim\limits_{n\to\infin}s_n=s n→∞limsn=s，则称级数 ∑ n = 1 ∞ u n \displaystyle\sum_{n=1}^\infin u_n n=1∑∞un 收敛，并称极限值 s s s 为级数 ∑ n = 1 ∞ u n \displaystyle\sum_{n=1}^\infin u_n n=1∑∞un 的和，记为
∑ n = 1 ∞ u n = s \sum_{n=1}^\infin u_n=s n=1∑∞un=s

当 { u n } \{u_n\} {un} 为常数（项）的数列时，则称为常数项级数

题目集：

【2009-16】
设 a n a_n an 为曲线 y = x n y=x^n y=xn 与 y = x n + 1 ( n = 1 , 2 , . . . ) y=x^{n+1}(n=1,2,...) y=xn+1(n=1,2,...) 所围成区域的面积，记
S 1 = ∑ n = 1 ∞ a n ， S 2 = ∑ n = 1 ∞ a 2 n − 1 S_1=\sum_{n=1}^{\infin}a_n，S_2=\sum_{n=1}^{\infin}a_{2n-1} S1=n=1∑∞an，S2=n=1∑∞a2n−1

求 S 1 、 S 2 S_1、S_2 S1、S2 的值.

解：
由幂函数性质一节得
a n = 1 n + 1 − 1 n + 2 a_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} an=n+11−n+21
∴ \therefore ∴
S 1 = ∑ n = 1 ∞ a n = lim ⁡ N → ∞ ∑ n = 1 N a n = lim ⁡ N → ∞ ( 1 2 − 1 3 + ⋯ + 1 N + 1 − 1 N + 2 ) = lim ⁡ N → ∞ ( 1 2 − 1 N + 2 ) = 1 2 S_1=\sum_{n=1}^\infin a_n=\lim_{N\to\infin}\sum_{n=1}^N a_n =\lim_{N\to\infin}\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{N+1}-\dfrac{1}{N+2}\Big)=\lim_{N\to\infin}\Big(\frac{1}{2}-\dfrac{1}{N+2}\Big)=\frac{1}{2} S1=n=1∑∞an=N→∞limn=1∑Nan=N→∞lim(21−31+⋯+N+11−N+21)=N→∞lim(21−N+21)=21

S 2 = ∑ n = 1 ∞ a 2 n − 1 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 n − 1 2 n + 1 ) = 1 2 − 1 3 + 1 4 − 1 5 + 1 6 − ⋯ S_2=\sum_{n=1}^\infin a_{2n-1}=\sum_{n=1}^\infin\Big(\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\Big)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\cdots S2=n=1∑∞a2n−1=n=1∑∞(2n1−2n+11)=21−31+41−51+61−⋯

余下部分在麦克劳林级数展开一节求解。

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