北京大学郭炜-最长上升子序列动态规划讲解

问题原型：

解题思路：
找子问题，题目要求我们求1~n的最长上升子序列的长度，那我们想一想：1-2个元素的最长上升子序列的长度是多少，第1个元素的最长上升子序列又是多少？
假设我们输入一个序列：

9
2 7 1 5 6 4 3 8 9

显然
第1个元素的最长上升子序列的长度为1
1-2个元素的最长上升子序列为(2 7)，长度为2
1-3个元素的最长上升子序列为(2 7)(2 1)，长度为2
1-4个元素的最长上升子序列有(2 7)(2 1)(2 5)(1 5)，长度也为2
由此可见，我们是可以通过遍历0~i-1个元素的最长上升子序列来得到i的最长上升子序列的。

我们建立一个和输入序列一样长的数组maxLen，来记录每一个元素从0~该元素位置的最长上升子序列的长度。maxLen中每一个元素的初值为1，因为倘若序列中元素i前面的数字都比i大，那么元素i对应位置的最长上升子序列长度就是自己一单位的长度，即为1。

具体写法我们代码里面说：

#include "iostream"
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(){int n,elem;vector<int> a,maxLen;cin>>n;for (int i=0;i<n;i++){cin>>elem;a.push_back(elem);// 设置每个元素默认最长上升子序列为1maxLen.push_back(1);//maxLen记录的是第0个元素到第i个元素的最长上升子序列的长度}//第一层for循环遍历输入的每一个元素，找出该元素的最长上升子序列的长度for (int i=1;i<n;i++){//第二层for循环遍历该元素前所有的元素for (int j=0;j<i;j++){//如果元素a[i]大于元素a[j]，说明序列上升了if (a[i]>a[j]){maxLen[i] = max(maxLen[i],maxLen[j]+1);}}}sort(maxLen.begin(),maxLen.end(),greater<int>());cout<<maxLen[0];
}

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