P1014Cantor表（找规律）

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题目描述

现代数学的著名证明之一是Georg Cantor证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的：

1/1 , 1/2 , 1/3 , 1/4, 1/5, …

2/1, 2/2 , 2/3, 2/4, …

3/1 , 3/2, 3/3, …

4/1 , 4/2, …

5/1 , …

…
我们以Z字形给上表的每一项编号。第一项是1/1，然后是1/2，2/1，3/1，2/2，…

输入格式：
整数N（1≤N≤10000000）

输出格式：
表中的第N项

输入样例#1：
7
输出样例#1：
1/4

分析

看到这道题的时候没想那么多，直接模拟O(n)O(n)O(n)的时间复杂度就过了。看了dalao们的八仙过海各显神通的题解，觉得自己还是孤陋寡闻了。除了直接模拟外，还有两种值的学习的方法。

枚举每一条斜线，找到所求的项所在的斜线，然后，时间复杂度为O(n)O(\sqrt{n})O(n)。
斜线上的项可以用如下三角形表示（当然，需要偶数行需要逆序）
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
可以看出，每行有第iii行有iii项，而且每行中第kkk个元素一定小于或等于行数iii，于是我们就可以对各行进行枚举了。
二分法：经过观察可以知道，第i条斜线上每项分子和分母的值和都为i+1，其中包含[i∗(i−1)2+1，(1+i)∗i2][\frac{i*(i-1)}{2}+1，\frac{ (1+i)*i} { 2}][2i∗(i−1)+1，2(1+i)∗i]这个区间中所有的项，用二分的方法就可以快速找到所求项所在的直线了。
区间的推导：
通过上面那个三角形可以看出，第iii层包含iii项，如果要求iii层中共有多少项，可以问题可以转化为等差数列前iii项和，公式为(1+i)∗i2(1+i)*i \over 22(1+i)∗i。根据这个公式我们可以知道，第iii的第1项为前i−1i-1i−1层的项数和加1，第iii的第iii项为前iii层的项数和。
求该项是该层的第几项：
设层数为iii，该项是该层的第aaa项，可得
a=n−i∗(i−1)2a=n-\frac{i*(i-1)}{2}a=n−2i∗(i−1)

代码如下

直接模拟。

import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.*;
public class Main {static int n,x=1,y=1;public static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));n=cin.nextInt();for(int i=1;i<n;) {if(i<n) {x++;i++;}while(x-1>0 && i<n) {x--;y++;i++;}if(i<n) {y++;i++;}while(y-1>0 && i<n) {x++;y--;i++;}}System.out.println(y+"/"+x);cin.close();}
}

枚举斜线

import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.*;
public class Main {static int n,i=1;public static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));n=cin.nextInt();while(i<n) {n=n-i;//n indicate n element in rowi++;//i indicate number of plies}if(i%2==0)System.out.println(n+"/"+(i-n+1));else System.out.println((i-n+1)+"/"+n);cin.close();}
}

二分法找斜线

import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.*;
public class Main {static int n,r,l,mid,a;// r, l, mid all indicate number of pliespublic static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));n=cin.nextInt();l=1;r=n;while(l<r) {mid=(r+l)/2;if(((mid+1)*mid)/2<n) l=mid+1;else r=mid;}a=n-(l*(l-1))/2; //why l indicate the target layerif(l%2==0)System.out.println(a+"/"+(l+1-a));else System.out.println((l+1-a)+"/"+a);cin.close();}
}

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