高等数学笔记：第一p广义积分与第二p广义积分
繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
第一p广义积分与第二p广义积分
第一 ppp 广义积分——无穷区间的敛散性
讨论:∫a+∞dxxp(a>0)的敛散性解答:(1)p=1,∫a+∞dxx=lnx∣a+∞=∞⇒发散(2)p≠1,∫a+∞dxxp=x1−p1−p∣a+∞⇒{p>1收敛p<1发散综上，对于积分∫a+∞1xpdx,p>1收敛,p⩽1发散\begin{aligned} & 讨论:\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}\ \ (a>0)\ 的敛散性\\ & 解答:\ (1) \ \ p=1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\left.\ln x\right|_{a} ^{+\infty}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\ \ \ (2) \ \ p\neq1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{a} ^{+\infty}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 收敛 \\ \ p<1\ \ 发散\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\ \ , \ p>1 \ 收敛 \ , \ p\leqslant 1 \ 发散 \end{aligned} 讨论:∫a+∞xpdx (a>0) 的敛散性解答: (1) p=1 , ∫a+∞xdx=lnx∣a+∞=∞⇒发散 (2) p=1 , ∫a+∞xpdx=1−px1−p∣∣∣∣a+∞⇒{ p>1 收敛 p<1 发散综上，对于积分∫a+∞xp1dx , p>1 收敛 , p⩽1 发散
第二 ppp 广义积分—— 无界函数的敛散性
讨论:∫ab1(x−a)pdx的敛散性(1)p⩽0,则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。(2)p>0,①p=1,则∫01dxx−a=ln(x−a)∣01=∞⇒发散②p≠1,则∫01dxxp=(x−a)−p+1−p+1∣01⇒{p>1发散p<1收敛综上，对于积分∫ab1(x−a)pdx，p<1时收敛，p>1时发散。特别地，对于积分∫011xpdx，p<1时收敛，p>1时发散。\begin{aligned} & 讨论:\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ 的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p\leqslant0 \ , \ 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p>0 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p=1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x-a}=\left.\ln (x-a)\right|_{0} ^{1}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p\neq1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{(x-a)^{-p+1}}{-p+1}\right|_{0} ^{1}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 发散 \\ \ p<1\ \ 收敛\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。\\ & 特别地，对于积分\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。 \end{aligned} 讨论:∫ab(x−a)p1dx 的敛散性 (1) p⩽0 , 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 (2) p>0 , ① p=1 , 则∫01x−adx=ln(x−a)∣01=∞⇒发散 ② p=1 , 则∫01xpdx=−p+1(x−a)−p+1∣∣∣∣01⇒{ p>1 发散 p<1 收敛综上，对于积分∫ab(x−a)p1dx ，p<1时收敛，p>1时发散。特别地，对于积分∫01xp1dx ，p<1时收敛，p>1时发散。
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