整数补码——如何定义相反数。

出现的原因

想要表示3+5，可以转化为8位2进制：0000 0011+0000 0101=0000 1001。

结合二进制加法，这是很容易的。那么减法该怎么办？

3-2=3+（-2），那么我们只要表示-2即可。为此，我们提出了反码来表示一个整数的相反数。

原理

以8位2进制为例：一个整数的储存只能转化为8位2进制，如果是9位的，那么第9位就溢出了。形象一些来讲：计算机的视野只能看到8位，多了一位进来就把第9位顶出去了，但是计算机只能看到8位，所以第9位它是看不到的。

利用这个特点，我们设计出了补码系统。设我们现在用的是X位2进制，也就是说:如果我们想要表达一个大于2^X的正整数,那么X位2进制是存不下这个数字的，转换为2进制后，这个数字将从右向左数X位存入，剩下的左边的数字就被裁掉了。

以8位2进制为例，例如:

其中

可以看到这是一种类似于“周期”的特性。以8位二进制为例，那么这个周期就是:

由于"周期"+"溢出",我们很自然的得到了一个"用周期溢出表示相反数"的方法.

即用周期来减一个数字，就可以得到它的负数。根据这个方法，我们就可以设计储存相反数了。

例子

先看一个例子:

假设我们使用8位2进制表示2的补码:

用这个8位2进制所能表达的最大整数+1，也就是周期来减。我们先写出这个周期为:

但是由于8位2进制只能有8位，我们这个周期有9位，无法运算，所以我们把它拆成两步：

所以我们先用第一部分

不难发现这一部分的运算有一个特点:给减数求反。这就是反码的由来。

再用得到的结果加上刚刚的1得:

右面的这个数就是2的补码:-2.

这就是“按位取反再加1”的由来。这样我们就可以进行减法操作了，即:

由于我们采用8位2进制，最左面一位1将会溢出,最后储存在这个8位2进制变量中的2进制数为:

这样一来，我们就可以表示减法了。

进一步地思考

回头看8位有符号整数的储存：最左边一位为0则表示非负数,最左边一位为1则表示负数。因此8位有符号整数可以表示的数字范围是:

其中

这与补码有什么关系呢？容易证明，只要我们定义右7位表示的数为非负数，通过取反码自然可以得到负数的8位2进制表示，最左侧位一定为0.这告诉我们：在支持反码的系统中，n位2进制只能表示:

其中

更进一步地：

假设系统支持补码，那么如果从小到大排列所有的位进制数那么前位一定是非负数后位一定是负数

这也解释了为什么两个正数相加可能会溢出得到负数——这运用到了补码的“溢出”原理。

原理的数学解释

事实上，如果引入数论中同余的概念，这一性质将会更容易被展现：

同余的线性运算性质

举例来说:

待补充……（似乎用数论的观点看待有点复杂化了）

参考资料

1.黄程程讲编程 Java016 深入理解二进制及整数补码

2.原码, 反码, 补码详解