最小生成树——Kruskal算法

基本思想

实现

伪代码

实际问题求解

最小生成树：带权连通图的生成树中边的权值之和最小的生成树。

最小生成树不是唯一的。当图中的各边权值互不相等时，最小生成树是唯一的；

若无向连通图本身是一棵树时（边数比顶点数少1 ），则最小生成树就是它本身。

最小生成树的边数为顶点数减1。

基本思想

（找权值最小的边）

初始时为只有n 个顶点而无边的非连通图 T 每个顶点自成一个连通分量，然后按照边的权值由小到大的顺序；
不断选取当前未被选取过且权值最小的边，若该边依附的顶点落在 T 中不同的连通分量上，则将此边加入 T , 否则舍弃此边而选择下一条权值最小的边。以此类推，直至T中所有顶点都在一个连通分量上。

通常在Kruskal算法中，采用堆来存放边的集合，因此每次选择最小权值的边只需 $O(log|E|)$ 的时间。此外，由于生成树中的所有边可视为一个等价类，因此每次添加新的边的过程类似于求解等价类的过程，由此可以采用并查集的数据结构来描述从而构造广的时间复杂度为 $O(|E|log|E|)$ 。（|E|表示边数）
Kruskal算法适合于边稀疏而顶点较多的图。

实现

伪代码

void Kruskal(V,T) {T=V;             //初始化树，仅含顶点numS=n;      //连通分量数while(numS>l){    //若连通分量数大于1从E中取出权值最小的边(v,u); if(v和 u 属于T 中不同的连通分量){ T=TU{ (v,u) };//将此边加入生成树中numS-;        //连通分量数减1}}
}

实际问题求解

P1546 [USACO3.1]最短网络 Agri-Net

题目背景：Farmer John 被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。

题目描述：FJ 已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。

你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过。

（采用基本Kruskal算法求解：Prim算法求解见http://t.csdn.cn/OFNwt）

public class MST {class Edge{int x,y,wei;public Edge(int x,int y,int wei){this.x=x;this.y=y;this.wei=wei;}}//并查集class UFSets{private int[] vex;public UFSets(int n){vex=new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {vex[i]=i;}}//x的最高祖宗public int find (int x){return vex[x]==x?x:find(vex[x]);}//合并public void union (int x,int y){int fx=find(x);int fy=find(y);if (fx!=fy){vex[fx]=fy;}}}public int kruskal(int[][] w){int n=w.length;//最小生成树总权值int result=0;//顶点集初始化UFSets vex=new UFSets(n);List<Edge> list=new ArrayList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {if (w[i][j]>0){list.add(new Edge(i,j,w[i][j]));}}}list.sort(new Comparator<Edge>() {@Overridepublic int compare(Edge o1, Edge o2) {return o1.wei-o2.wei;}});//选n个边for (Edge e : list) {if (n<=0){break;}//边的两个点属于不同连通分量,则加入这条边if (vex.find(e.x)!=vex.find(e.y)){vex.union(e.x,e.y);result+=e.wei;n--;}}return result;}public static void main(String[] args) {Scanner scan=new Scanner(System.in);int n=scan.nextInt();int[][] w=new int[n][n];for (int i = 0; i < w.length; i++) {for (int j = 0; j < w.length; j++) {w[i][j]=scan.nextInt();}}System.out.println(new MST().kruskal(w));}
}

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