16.1 动态规划引入例子：最少硬币问题
文章目录
- 最少硬币问题描述
- 解题思路
- （1） 只使用最小面值的 1 分硬币
- （2）在使用面值1分硬币的基础上，增加使用第二大面值的5分硬币
- （3）继续处理其它面值的硬币
- 参考代码
- 打印最少硬币的组合
最少硬币问题描述
有n种硬币，面值分别为V1，V2，…，Vn.数量无限。输入非负整数S，请你选用硬币，使其和为S。要求输出最少的硬币组合。
解题思路
先定义一个数组int cnt[M]，其中 cnt[i] 是金额 i 对应的最少硬币数量。如果程序能计算出所有的 cnt [i]，0< i <M，那么对输入的某个金额 i，只要查 cnt[i] 就得到了答案。
那么我们该如何计算 cnt[i] 呢？cnt[i] 和 cnt[i-1]又是否有关系呢？这里涉及到一个“递推”的思路，从小问题 cnt[i-1] 的解决递推到大问题 cnt[i] 的解决。小问题的解决能推导出大问题的解决。下面我们以5种面值[1，5，10，25，50]的硬币为例，讲解从i-1到 i 的递推过程：
（1） 只使用最小面值的 1 分硬币
（2）在使用面值1分硬币的基础上，增加使用第二大面值的5分硬币
（3）继续处理其它面值的硬币
在DP中，把 cnt[i] 这样的记录子问题最优解的数据称为“状态”；从 cnt[i-1] 或 cnt[i-5] 到 cnt[i] 的递推，称为“状态转移”。用前面子问题的结果，推导后续子问题的解，逻辑清晰、计算高效，这就是DP的特点。
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 251; //定义最大金额
const int N = 5; //5种硬币
int type[N] = {1, 5, 10, 25, 50}; //5种面值
int cnt[M]; //每个金额对应最少的硬币数量
const int INF = 0x1FFFFFFF;void solve(){for(int k = 0; k< M; k++) //初始值为无穷大cnt[k] = INF;cnt[0] = 0;for(int j = 0; j < N; j++)for(int i = type[j]; i < M; i++)cnt[i] = min(cnt[i], cnt[i - type[j]] + 1); //递推式
}
int main(){int s;solve(); //计算出所有金额对应的最少硬币数量。打表while(cin >> s){if(cnt[s] == INF) cout <<"No answer" << endl;else cout << cnt[s] << endl;}return 0;
}
打印最少硬币的组合
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 251; //定义最大金额
const int N = 5; //5种硬币
int type[N] = {1,5,10,25,50}; //5种面值
int cnt[M]; //每个金额对应最少的硬币数量
int path[M]={0}; //记录最小硬币的路径
const int INF = 0x1FFFFFFF;
void solve(){for(int k=0; k< M;k++)cnt[k] = INF;cnt[0]=0;for(int j = 0;j < N;j++)for(int i = type[j]; i < M; i++)if(cnt[i] > cnt[i - type[j]]+1){path[i] = type[j]; //在每个金额上记录路径，即某个硬币的面值cnt[i] = cnt[i - type[j]] + 1; //递推式}
}
void print_ans(int *path, int s) { //打印硬币组合while(path[s]!=0 && s>0){cout << path[s] << " ";s = s - path[s];}
}
int main() {int s;solve();while(cin >> s){if(cnt[s] == INF)cout <<"No answer"<<endl;else{cout << cnt[s] << endl; //输出最少硬币个数print_ans(path,s); //打印硬币组合}}return 0;
}
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