直方图匹配

直方图均衡技术，可以自动地确定变换函数，而产生具有均匀直方图的输出图像。但是不同图像出现的问题不尽相同，有时根据图像的某种缺陷，我们需要得到处理后具有特殊直方图的图像。均衡化这样单一的方法显然不能成为万能钥匙。

直方图匹配，又称直方图规定化。与直方图均衡化不同，直方图均衡试图使输出图像具有一个平坦的直方图，而直方图匹配是为了得到一个特定的直方图。

基本原理

直方图规定化的基本思路是：对原图像直方图和目标直方图都做均衡化，变成相同的归一化的均匀直方图。然后以此均匀直方图为媒介，再对原图像做均衡化的逆运算。

设原图像和输出图像的灰度变量分别为rr和zz，并令pr(r)p_r(r)和pz(z)p_z(z)表示他们所对应的概率密度函数，分别对rr和zz作如下变换：

T(r)=(L−1)∫r0pr(w)dwG(z)=(L−1)∫z0pz(w)dw

T(r)=(L-1)\int_0^r p_r(w)dw\\ G(z)=(L-1)\int_0^z p_z(w)dw
由于两个式子都为均匀化变换，可得 T(r)=G(z)T(r)=G(z)，因此 zz满如下条件：

z=G−1[T(r)]

z=G^{-1}[T(r)]
在实践中，一个困难是寻找 T(r)T(r)和 G−1G^{-1}的有意义的表达式。在处理离散变量时，问题可以大大简化。下面的方法仅为了得到一个近似的直方图。为方便起见，我们重写公式如下：

sk=T(rk)=(L−1)∑j=0kpr(rj)=L−1MN∑j=0knj,k=0,1,...,L−1

s_k=T(r_k)=(L-1)\sum_{j=0}^k p_r(r_j)=\frac{L-1}{MN}\sum_{j=0}^k n_j,\quad k=0,1,...,L-1
其中 MNMN是图像的像素总数， njn_j是具有灰度值 rjr_j的像素数， LL是图像中可能的灰度级数。类似地，对目标直方图随机变量的计算变换函数

G(zq)=(L−1)∑i=0qpz(zi)

G(z_q)=(L-1)\sum_{i=0}^q p_z(z_i)
对一个 qq值，有

zq=G−1(sk)

z_q=G^{-1}(s_k)
实际操作过程中，我们不需要计算 GG的反变换。因为我们处理的图像灰度级是整数（如8比特图像的灰度级是0到255）。我们可以将GG变换存储在一个表中，然后根据给定的 sks_k值，查找存储在表中最匹配的 zqz_q值。

实现过程

计算原图像的直方图pr(r)p_r(r)，并寻找直方图均衡变换，得到sks_k并四舍五入为范围[0,L-1]内的整数。
对q=0,1,...,L−1q=0,1,...,L-1计算变换GG的所有值，其中pz(zi)p_z(z_i)是规定直方图的值。把GG的值四舍五入为范围[0,L-1]内的整数，并存储在一个表中。
对每个值s0,s1,...,sL−1s_0,s_1,...,s_{L-1}，使用步骤2中存储的GG值寻找相应的zqz_q值，以使G(zq)G(z_q)最接近sks_k，并存储这些sks_k到zqz_q的映射。
对输入图像进行均衡化，然后使用步骤3找到的映射把该图像中的每个均衡后的像素值sks_k映射为直方图规定化后的图像中的相应值zqz_q，形成直方图规定化后的图像。

计算例子

设输入为大小为64x64像素的3比特数字图像，其灰度分布、直方图值、均衡化后的值（四舍五入）为：

rkr_k	nkn_k	pr(rk)p_r(r_k)	sk=7∑kj=0pr(rj)s_k=7\sum_{j=0}^k p_r(r_j)
r0=0r_0=0	790	0.19	1
r1=1r_1=1	1023	0.25	3
r2=2r_2=2	850	0.21	5
r3=3r_3=3	656	0.16	6
r4=4r_4=4	329	0.08	6
r5=5r_5=5	245	0.06	7
r6=6r_6=6	122	0.03	7
r7=7r_7=7	81	0.02	7

设规定直方图为：

zqz_q	pz(zq)p_z(z_q)	G(zq)=7∑qj=0pz(zj)G(z_q)=7\sum_{j=0}^q p_z(z_j)
r0=0r_0=0	0.00	0
r1=1r_1=1	0.00	0
r2=2r_2=2	0.00	0
r3=3r_3=3	0.15	1
r4=4r_4=4	0.20	2
r5=5r_5=5	0.30	5
r6=6r_6=6	0.20	6
r7=7r_7=7	0.15	7

将所有的sks_k值映射到相应的zqz_q值：

sks_k	→\rightarrow	zqz_q
1	→\rightarrow	3
3	→\rightarrow	4
5	→\rightarrow	5
6	→\rightarrow	6
7	→\rightarrow	7

如图显示了变换过程：

虽然图(d)的最终结果并不完全与规定的直方图匹配，但达到了将灰度明确移向灰度级高端的目的。