【数学】偏序集及其分解定理和应用

设XXX是个非空集合，XXX上有一个二元关系RRR满足自反性、反对称性和传递性，我们就称其为偏序关系。三个性质分别指的是：
1、自反性，指∀a,(a,a)∈R\forall a, (a,a)\in R∀a,(a,a)∈R；
2、反对称性，指(a,b)∈R∧(b,a)∈R⇒a=b(a,b)\in R\land (b,a)\in R\Rightarrow a=b(a,b)∈R∧(b,a)∈R⇒a=b；
3、传递性，指(a,b)∈R∧(b,c)∈R⇒(a,c)∈R(a,b)\in R\land (b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R(a,b)∈R∧(b,c)∈R⇒(a,c)∈R。
通常一个偏序关系，我们记为(X,≤)(X,\le)(X,≤)。偏序集有很多例子，例如正整数ZZZ连同它上面的整除关系就是个偏序集，一个集合的所有子集组成的集合连同被包含关系也成为一个偏序集。

给定一个偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)，若对任意x,yx,yx,y，有x≤y∨y≤xx\le y \lor y\le xx≤y∨y≤x，则称≤\le≤是一个全序关系，偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)也称为一个全序集，也称为一条链。一个偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)的子偏序集(X′,≤)(X',\le)(X′,≤)如果是全序集，我们也可以称它是偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)的一条链，或者严格来讲，全序子集。如果偏序子集(X′,≤)(X',\le)(X′,≤)中的元素两两不可比较，也就是说，对任意x,yx,yx,y，x≤yx\le yx≤y与y≤xy\le xy≤x都不成立，则称其为一条反链。

给定一个偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)，其最长链的长度，称为偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)的高度；其最长反链的长度，称为偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)的宽度。

接下来介绍极大元、极小元、最大元、最小元的概念。
偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)，如果有一个元素xxx使得对于任意aaa，若x≤ax\le ax≤a则有x=ax=ax=a，则称xxx是这个偏序集的一个极大元。
如果有一个元素xxx使得对于任意aaa，若a≤xa\le xa≤x则有x=ax=ax=a，则称xxx是这个偏序集的一个极小元。
如果有一个元素xxx使得对于任意aaa，都有a≤xa\le xa≤x，则称xxx是这个偏序集的最大元。
如果有一个元素xxx使得对于任意aaa，都有x≤ax\le ax≤a，则称xxx是这个偏序集的最小元。

我们可以看出，极大元的意思就是，没有比它更大的了；最大元的意思则是，它比别的所有元素都大。这两个概念是不一样的，因为一个偏序集可能有多个极大元，它们之间两两不能比较。但显而易见的是，最大元一定是极大元。反之不然，一个偏序集可能有极大元，但是没有最大元。一个偏序集如果有最大元的话，则最大元一定是唯一的。对于最小元也是一样。

接下来介绍最最重要的两个分解定理。

定理1：一个偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)的高度为nnn，则存在划分X=⋃i=1nAiX=\bigcup_{i=1}^{n} A_iX=⋃i=1nAi使得每个AiA_iAi都是反链。
证明：数学归纳法。当n=1n=1n=1时，说明任意两个元素都不可比较，则XXX本身就是个反链，结论成立；设结论对于nnn也成立。当高度为n+1n+1n+1时，首先XXX不可能划分为nnn个反链，否则的话，由鸽巢原理，长度为n+1n+1n+1的链必然有两个元素同属于一个反链，这与反链的定义是矛盾的。取XXX的所有极大元组成一个集合A1A_1A1，则A1≠∅A_1\ne \emptyA1=∅（链的最大元就是个极大元）。我们考虑X−A1X-A_1X−A1中的链，如果其有长度为n+1n+1n+1的链，则其极大元必然也是XXX的极大元，否则XXX的高度就应该大于等于n+2n+2n+2，矛盾。所以X−A1X-A_1X−A1的高度是nnn，由归纳假设，其可以分解为nnn个反链，连同A1A_1A1就是n+1n+1n+1个反链，结论成立。这个证明有点BFS拓扑排序的味道，先找入度为000的顶点，然后删掉，继续找入度为000的顶点，依次下去。找反链的步骤也是这样，先找极大元，然后将其删掉，再继续找极大元。

定理2（Dilworth定理）：设有限偏序集(X,≤)(X,\le)(X,≤)的宽度为mmm，则存在划分X=⋃i=1mAiX=\bigcup_{i=1}^{m} A_iX=⋃i=1mAi使得每个AiA_iAi都是链。
证明以后补。

我们来看应用：
对于一个数组(x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n)(x1,x2,...,xn)，我们考虑将其分解为若干个下降子序列的并，这该如何做呢。
为了方便叙述，我们举一个例子，设数组为A=(4,2,4,5,3,7)A=(4,2,4,5,3,7)A=(4,2,4,5,3,7)，连同下标在一起，数组为A=(41,22,43,54,35,76)A=(4_1,2_2,4_3,5_4,3_5,7_6)A=(41,22,43,54,35,76)。定义序关系为，ai≤bja_i\le b_jai≤bj当且仅当a≤ba\le ba≤b并且i≤ji\le ji≤j。按照这个序关系的定义，一个数比另一个数小，当且仅当第一个数出现在第二个数左边，并且数值也更小。按照这个序关系，AAA中的最长链就是(22,43,54,76)(2_2,4_3,5_4,7_6)(22,43,54,76)，其实也就是AAA中的最长上升子序列。由分解定理，AAA存在四条反链。我们考虑一下这里的反链是个什么意思。对于AAA的某个反链而言，其中两个元素aia_iai和bjb_jbj不可比较，就意味着它们的数值大小关系和它们的下标大小关系”不对应“，换句话说，如果将它们按照下标由小到大排，那么数值就是由大到小的，也就是说，一个反链就对应了一个（严格）下降子序列。要求反链的话，就要求极大元。这里我们要求四轮极大元。
第一轮，在(41,22,43,54,35,76)(4_1,2_2,4_3,5_4,3_5,7_6)(41,22,43,54,35,76)中，767_676是极大元，别的都不是；
第二轮，在(41,22,43,54,35)(4_1,2_2,4_3,5_4,3_5)(41,22,43,54,35)中，353_535和545_454都是极大元，别的都不是；
第三轮，在(41,22,43)(4_1,2_2,4_3)(41,22,43)中，434_343是极大元，别的都不是；
第四轮，剩下的两个数(41,22)(4_1,2_2)(41,22)都是极大元。
每轮的极大元都是一个反链，所以得到的四个反链就是(76),(54,35),(43),(41,22)(7_6),(5_4,3_5),(4_3),(4_1,2_2)(76),(54,35),(43),(41,22)。我们发现，其实就是将AAA拆成了四个下降子序列。由分解定理，这是AAA能拆的最多的下降子序列个数了。
反过来想就是这样的，如果一道题目问，一个数组AAA能分拆成的最多严格下降子序列的个数是多少，那么答案就是AAA的最长（不严格）上升子序列的长度。

可以注意到，上述算法就是每次取极大元。接下来考虑求AAA的四个反链的更简单的算法。算法如下：
1、设已经开了若干个反链，遇到新的数的时候，如果它比所有反链的最小值都要大于等于，那么这个数无法接到任何一个已经开的反链上去，则将它自成一个反链；
2、如果遇到的新的数可以接到某个反链后面，那么就挑最小值最小的那条反链接上去。

按照这个算法，求AAA的四个反链的做法就是这样的：
遇到414_141，开一个新的反链，(41)(4_1)(41)；
遇到222_222，可以接上去，得(41,22)(4_1,2_2)(41,22)；
遇到434_343，接不上去，开一个新反链，得(41,22),(43)(4_1,2_2),(4_3)(41,22),(43)；
遇到545_454，接不上去，开一个新反链，得(41,22),(43),(54)(4_1,2_2),(4_3),(5_4)(41,22),(43),(54)；
遇到353_535，可以接到两个数上去，我们挑最小的接上去，得(41,22),(43,35),(54)(4_1,2_2),(4_3,3_5),(5_4)(41,22),(43,35),(54)；
遇到767_676，接不上去，开一个新反链，得(41,22),(43,35),(54),(76)(4_1,2_2),(4_3,3_5),(5_4),(7_6)(41,22),(43,35),(54),(76)。
遍历完毕，正好得到四个反链。证明以后补。

接下来考虑严格偏序集的分解定理。XXX上的一个严格偏序RRR，指的是：
1、反自反性，对于任意aaa，(a,a)∉R(a,a)\notin R(a,a)∈/R；
2、非对称性，(a,b)∈R⇒(b,a)∉R(a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\notin R(a,b)∈R⇒(b,a)∈/R（注意，反对称性和非对称性不是一个意思。反自反性允许(a,a)∈R(a,a)\in R(a,a)∈R，但是非对称性不允许）；
3、传递性，(a,b)∈R,(b,c)∈R⇒(a,c)∈R(a,b)\in R, (b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R(a,b)∈R,(b,c)∈R⇒(a,c)∈R。
严格偏序集一般记为(X,<)(X,<)(X,<)。严格偏序集里也可以定义极大、极小、最大、最小元，极大元指的是没有元素比它“大”（它自己也不比它大），最大元指的是它别的元素都大（除了它自己）。于是，严格偏序集也有链和反链的概念。由于偏序集的分解定理里并没有用到自反性和对称性，所以证明可以直接套用过来用。具体就不叙述了。

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