空瓶换酒问题【一行代码】

【问题】

已知：N个空瓶可以换 1 瓶酒，
问：若小明买m瓶，那么他最终可以喝到几瓶？

【声明】

N为大于 1 的自然数，否则结果为无穷.
不考虑借空瓶的行为.

空瓶换酒问题简单易懂，可以算是学习编程的入门题，只需一个循环即可。本文试图探究，最终的答案与初始 m 是否存在数量关系，及其背后的逻辑。

【法一】给出普通的解法如下

#tol:喝到的瓶数
#emptybottles:现有的酒瓶数
def kphj1(numBottles,numExchange):#初始有numBottles瓶酒，喝完后有同样多数量的酒瓶tol=numBottlesemptybottles=numBottles#当可以换酒时循环while emptybottles>=numExchange:#现有的空瓶可以换到的酒数newwine=emptybottles//numExchange#换完酒剩下的空瓶oldbottles=emptybottles%numExchange  #更新喝到的酒数tol+=newwine#更新现有的空瓶emptybottles=newwine+oldbottlesreturn tol

【法二】考虑酒和空瓶的数量关系
已知N个酒瓶可以换 1 瓶新酒，事实上，当酒喝完后我们又得到一个酒瓶，所以 N∗酒瓶=1∗酒+1∗酒瓶N*酒瓶=1*酒 + 1*酒瓶N∗酒瓶=1∗酒+1∗酒瓶,
也就是(N−1)∗酒瓶=1∗酒.(N-1)*酒瓶=1*酒 .(N−1)∗酒瓶=1∗酒.
不失一般性，假设酒瓶的价值为 1，那么酒的价值是N−1N-1N−1.

于是，我们的问题转化为，我们初始价值为m∗(酒+酒瓶)=mN,m*(酒+酒瓶)=mN,m∗(酒+酒瓶)=mN,最终可以换多少酒？

考虑到最终我们至少剩一个酒瓶在手里，所以我们实际可以利用价值至多为mN−1mN-1mN−1,从而一共可以喝到的酒数为(mN−1)//(N−1).(mN-1)//(N-1).(mN−1)//(N−1).

def kphj2(numBottles,numExchange):return (numBottles*numExchange-1)//(numExchange-1)

时间复杂度O(1).

做出简单的题目不难，但答出简洁的答案需要付出额外的思考。
日拱一卒，功不唐捐。

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