博弈论+指鹿为马DP法（CSU 2095: Sweet War题解）

题目传送门：CSU 2095：Sweet War

题目大意：皮皮王和嘤嘤怪是好朋友，一天她俩出去玩，皮皮王发现了一个一端开口的玻璃管（大概试管那样的）。玻璃管里有好多巧克力豆一个挨着一个地排着。皮皮王和嘤嘤怪给每个巧克力豆估算了一个美味值s[i]和营养值r[i]，她俩都想吃到的巧克力的美味值总和最大（巧克力从开口的一端向封闭的一端依次编号1，2，...，n，只能按顺序一个一个地吃）。于是，她俩就打算玩游戏，两个人轮流进行操作，规则如下：

(1)每个人有一个初始饱食度A，B

(2)每个人轮到自己的时候有两种操作：吃了巧克力豆（饱食度增加那个巧克力豆的营养值），或者直接pass（饱食度下降1，饱食度为0不能pass）

(3)皮皮王先手，皮皮王和嘤嘤怪都特别聪明，能够保证自己每一步都是最优的~

(4)巧克力豆吃完游戏结束

问：皮皮王和嘤嘤怪吃到的巧克力豆的美味度总和

数据范围：0<=A,B,r[i]<=1e9，1<=N<=150，0<=s[i] and ∑s[i] <= 150

分析：

额，这一题我是看VJ上ACMer分享的代码的——菜到做不出来。。写博客的目的是发现这一题DP思路很奇妙啊，别人代码看一遍，醍醐灌顶。我称之为“指鹿为马DP法”（当然，这是我瞎编的词）——通常，我们一个dp数组，求出来之后，其中某一个或者多个值会是我们需要的最终结果，或者再对它们进行少量运算得到最终结果。然而，这一题比较奇特的是，最终结果不是从dp值里选取，而是在dp数组的索引里面选取（就很骚~）。由于以前没做过这种题，直接印象就是觉得饱食度应该作为索引，而美味度应该作为dp值，饱食度范围是1e9，这数组根本没法开，没法做。

言归正传，首先，我们必须认清一个事实，某个人要进行pass操作时，那么前提是她的饱食度更高（由于两个人都非常聪明，那么pass必定是为了吃到下一个更优，如果想要pass的人饱食度比较低，那么另一个人也会选择pass，两个人一起消耗饱食度，饱食度低的肯定就耗不过了）。也就是说，两个人的实际饱食度我们并不关心，只关心二人饱食度的差值。现在我们以皮皮王为主角，以dp数组表示皮皮王的饱食度减去嘤嘤怪的饱食度。dp[i][j][k]表示从i开始操作直到结束，吃到j饱食度所需要的最小相对饱食度，k表示当前轮到谁进行操作了，0指代皮皮王，1指代嘤嘤怪。那么关键的来了：

                dp[i][j][0] = min(dp[i+1][max(0LL, j-s[i])][1]-r[i], max(dp[i+1][j][0]+1+r[i], 1LL));dp[i][j][1] = max(dp[i+1][j][0] + r[i], min(dp[i][j][0]-1, -1LL));

解释一波：

对于dp[i][j][0]：

(1)dp[i+1][max(0LL, j-s[i])][1]-r[i]表示皮皮王吃掉了这个豆，饱食度增加r[i]，那么当前的饱食度就比下一轮低r[i]，第二维的max(...)意思很明显，当然要不小于0啊~

(2)dp[i+1][j][0]+1+r[i]表示皮皮王选择了pass，那么自己需要消耗1的饱食度，嘤嘤怪吃了那个巧克力豆，饱食度增加r[i]，那么相对的皮皮王饱食度降低r[i]，那么皮皮王当前的相对饱食度就需要比下一轮搞1+r[i]，至于max(...)就如前面所说，饱食度高的人才有资格去pass，即相对饱食度至少为1才有资格pass

(3)由于皮皮王非常聪明，她当然会在(1)和(2)里选择一个较小的去操作啊，想要以有限的饱食度达到更高的美味度，那就必然需要以更低的饱食度达到相同的美味度啊

对于dp[i][j][1]：

max()括号里的就不解释了，和上面同理，但为啥前面是min而这里是max呢？——现在轮到嘤嘤怪操作了啊，她想自己达到结果更优，当然会在吃与pass之间选择需要使dp值大的啊，这样皮皮王想吃同样的美味度，就需要更多的饱食度了。

dp求完之后，遍历dp[1][j][0]，表示皮皮王从第一个开始吃，满足当前饱食度的最大的j，这就是她所能达到的最大美味度

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#define ll long longusing namespace std;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int main()
{#ifdef AFeifreopen("in.c", "r", stdin);#endif // AFeill n, A, B;ll r[152], s[152];ll dp[152][152][2];while(~scanf("%lld%lld%lld", &n, &A, &B)){ll sum = 0;memset(dp, 0x3f, sizeof dp);for(int i = 1; i <= n; ++ i){scanf("%lld%lld", &r[i], &s[i]);sum += s[i];}dp[n+1][0][0] = dp[n+1][0][1] = -INF;for(int i = n; i; -- i){for(int j = 0; j <= sum; ++ j){dp[i][j][0] = min(dp[i+1][max(0LL, j-s[i])][1]-r[i], max(dp[i+1][j][0]+1+r[i], 1LL));dp[i][j][1] = max(dp[i+1][j][0] + r[i], min(dp[i][j][0]-1, -1LL));}}ll ans = 0;for(int i = sum; i >= 0; -- i){if(dp[1][i][0] <= A-B){ans = i;break;}}printf("%lld %lld\n", ans, sum-ans);}return 0;
}

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