总结：

方向导数：是一个数；反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。
偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。
偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。
梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。

1.方向导数

方向导数的本质是一个数值，是一个函数沿指定方向的变化率。

多元函数的偏导数是函数沿着坐标轴的变化率，那么在多元函数中，涉及到多维曲面等，那么就涉及到某一个方向的变化率，这就是方向导数（多元函数在非坐标轴方向上也可以求导数，这种导数称为方向导数）。因此，根据定义，方向导数就是一个函数沿着指定方向的变化率。

由于方向导数是特定的一个方向的变化率，因此是一条射线。

2.梯度

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值。

很容易发现，多元函数在特定点的方向导数有无穷多个，表示函数值在各个方向上的增长速度。一个很自然的问题是：在这些方向导数中，是否存在一个最大的方向导数，如果有，其值是否唯一？为了回答这个问题，便需要引入梯度的概念。

定义：设函数 z = f(x, y) 在平面区域D可微分，则对于每一点(x, y) ∈ D，都可定出一个向量：

称这个向量为函数 z = f(x, y)的梯度，记作：

3 法向量

法线（normalline），是指始终垂直于某平面的直线。在几何学中，法线指平面上垂直于曲线在某点的切线的一条线。

转载于：数学分析_空间几何——法向量和梯度的关系_Jokic_Rn的博客-CSDN博客_法向量和梯度

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1.方向导数

2.梯度

3 法向量

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