定积分问题的区间再现公式应用

区间再现公式： ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − x ) d x \int _a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx
公式的推导方法就是一个简单的变量替换。
具体求解答案：https://mp.weixin.qq.com/s/Nl–joTI8Dyby6UXkXgRtQ

例题部分：

区间再现公式的实质就是换元，最精髓的地方在于不改变积分区间的情况下，完成了对积分式的改造，但是这个换元的目的大多数情况都不是为了配凑，而是为了与原函数发生关系，然后进而推导出易于求解的定积分积分式。

例：

（1）求解 ∫ 0 π 2 d x 1 + tan ⁡ x 2 \int_0^{\frac\pi 2}\cfrac {dx}{1+\sqrt[\sqrt 2]{\tan x}} ∫02π1+2 tanx dx
注意：合并成1后是 ∫ 0 π 2 1 d x \int_0^{\frac \pi 2}1dx ∫02π1dx！！！
答案： π 4 \cfrac \pi 4 4π
（2）求解 ∫ 2 4 ln ⁡ ( 9 − x ) ln ⁡ ( 9 − x ) + ln ⁡ ( x + 3 ) d x \int_2^4\cfrac{\sqrt{\ln (9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}dx ∫24ln(9−x) +ln(x+3) ln(9−x) dx
答案： 1 1 1
（3）求解 ∫ 0 1 ln ⁡ ( 1 + x ) 1 + x 2 d x \int_0^1\cfrac {\ln(1+x)}{1+x^2}dx ∫011+x2ln(1+x)dx令 x = tan ⁡ t x=\tan t x=tant然后参数代换，最后转化成 ∫ 0 π 4 ln ⁡ ( 1 + tan ⁡ t ) d t \int_0^{\frac \pi 4}\ln(1+\tan t)dt ∫04πln(1+tant)dt，再使用区间再现即可。
（4）求解 ∫ − 1 1 d x ( e x + 1 ) ( x 2 + 1 ) \int_{-1}^{1}\cfrac{dx}{(e^x+1)(x^2+1)} ∫−11(ex+1)(x2+1)dx
注意：对于对称区间的利用区间在先的目的就是为了换 x x x 为 − x -x −x，这种替换方法有时对于 e x e^x ex、(反)三角函数、对数函数非常有效。
答案： π 4 \cfrac \pi 4 4π
思考整理：
区间再现可以穿插在任何步骤中，这种方法的变化也算是一种基本的求解方法。

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例题部分：

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