数据结构-图内容总结

一、图的两种常用存储结构
二、图的两种遍历方式
三、最短路径的两种算法
四、最小生成树的两种算法
五、拓扑排序
六、关键路径

一、图的两种常用存储结构

邻接矩阵和邻接表存储的都是边的信息，顶点类还需要单独定义和实现。

邻接矩阵
特点：无向图中为对称矩阵，适合存储稠密图。
邻接表
特点：适合存储稀疏图。

二、图的两种遍历方式

深度优先遍历（DFS）
类似于树的先序遍历，采用递归的方法。(以邻接矩阵为例）

void CMap::depthFirstTraverse(int nodeIndex){//输出顶点值cout<<m_pNodeArray[nodeIndex].m_cData<<" ";//设置当前节点为已经遍历过m_pNodeArray[nodeIndex].m_bIsVisited = true;//找到与当前节点连接的节点（还需要未被遍历过）进行遍历for(int i =0;i<m_iCapacity;i++){if(m_pMatrix[nodeIndex*m_iCapacity+i] && !m_pNodeArray[i].m_bIsVisited){depthFirstTraverse(i);}}
}

广度优先遍历
使用队列存储即将访问的节点，与树的层序遍历类似。(以邻接矩阵为例）

void CMap::breadthFirstTraverse(int nodeIndex){queue<int> queue1;queue1.push(nodeIndex);//将起始节点压入堆栈while(!queue1.empty()){ int temp = queue1.front(); queue1.pop();//取出并删除堆栈第一个节点if(!m_pNodeArray[temp].m_bIsVisited){cout<<m_pNodeArray[temp].m_cData<<" ";  //将该节点访问状态设置为truem_pNodeArray[temp].m_bIsVisited = true;//找到与该节点相连且未被访问过的节点，压入队列下次访问for(int i =0;i<m_iCapacity;i++){if(m_pMatrix[temp*m_iCapacity+i] && !m_pNodeArray[i].m_bIsVisited){queue1.push(i);}}}}
}

三、最短路径的两种算法

Dijkstra算法
算法的原理这个视频讲的非常清楚B站Dijkstra算法，大概意思是每次从未确定的顶点中选择一个 源点到未确定顶点集合中cost最小的点，更新与它相连的其他最小cost 并将它的确定状态设置为true，直到遍历到终点。

int CMap::dijkstra(int start, int end) {int value[m_iCapacity];    //记录源点到各个点的最小costfor(int i = 0;i<m_iCapacity;i++){value[i] = 100;        //设置初值为一个很大的值}value[start] = 0;for(int i=0;i<m_iCapacity-1;i++){int min = 100;    //记录每次int min_index;for(int j = 0;j<m_iCapacity;j++){//寻找未确定的顶点集合中cost的最小值if(value[j]<min && !m_pNodeArray[j].m_bIsVisited){min = value[j];min_index = j;}}m_pNodeArray[min_index].m_bIsVisited = true;//更新与最小点连接的其他点的最小cost for(int j = 0;j<m_iCapacity;j++){if(!m_pNodeArray[j].m_bIsVisited && m_pMatrix[min_index*m_iCapacity+j]>0)if(value[min_index]+m_pMatrix[min_index*m_iCapacity+j]<value[j]){value[j] = value[min_index]+m_pMatrix[min_index*m_iCapacity+j];}}}return value[end];
}

弗洛伊德(Floyed)算法
这个视频B站视频Floyed算法也讲的比较明白，大概思想是遍历每个顶点，更新以当前顶点为中间点的最小cost。比如有ABCD四个点，遍历A时比较 B到C的最小cost 和 B到A的最小cost＋A到C的最小cost 两者哪个更小。最终返回起始点到终点的最小cost即可。

int CMap::floyed(int start, int end) {int D[m_iCapacity*m_iCapacity];  //存储两点之间cost最小值int P[m_iCapacity*m_iCapacity];  //存储两点之间经过的最后一个顶点//初始化 初值为很大的数for(int i =0;i<m_iCapacity*m_iCapacity;i++){if(m_pMatrix[i]) D[i] = m_pMatrix[i];else D[i] = 100;P[i] = i%m_iCapacity;}//以i为中间点，从j到k的costfor(int i =0;i<m_iCapacity;i++){for(int j=0;j<m_iCapacity;j++){for(int k=0;k<m_iCapacity;k++){if(D[j*m_iCapacity+i]+D[i*m_iCapacity+k]<D[j*m_iCapacity+k]){//当从j到k经过i的cost值最小时，更新从j到k的最小值D[j*m_iCapacity+k] = D[j*m_iCapacity+i]+D[i*m_iCapacity+k];//更新从j到k经过的顶点坐标P[j*m_iCapacity+k] = P[j*m_iCapacity+i] ;}}}}//输出路径int j = end;cout<<end<<" ";while(start!=j){cout<<P[j*m_iCapacity+start]<<" ";j = P[j*m_iCapacity+start];}cout<<endl;//返回最小costreturn D[start*m_iCapacity+end];
}

四、最小生成树的两种算法

最小生成树：无回路、V个顶点有V-1条边
最小生成树：包含全部顶点、V-1条边都在图里、任加一条边就会构成回路。
最小生成树：边的权重之和最小。
B站视频最小生成树

Prim普利姆算法
和Dijkstra很像，但也有不同之处
Prim每次比较的是i到j的最小权值，而Dijkstra比较的是从起点到i的最小权值＋i到j的最小权值。

for(int j = 0;j<m_iCapacity;j++){if(!m_pNodeArray[j].m_bIsVisited && m_pMatrix[min_index*m_iCapacity+j]>0)//这里的比较不需要加value[min_index]if(m_pMatrix[min_index*m_iCapacity+j]<value[j]){value[j] = m_pMatrix[min_index*m_iCapacity+j];}}

Kruskal克鲁斯卡尔算法
主要思想：将权值按从小到大排序，从小到大逐个生成图。如果新插入的权值对应的边使得图变成环，就不加入这个权值，直到插入的边的个数为V-1即可。
如何判断图成为环：维护一个顶点个数长度的数组，初始化为节点自身的编号，数组内容记录更新构建最小生成树过程中的根节点，如果一条边起点和终点的根节点一样则会形成环。

如图所示，边排序好之后为{[E,F] [C,D] [D,E] [C,F] [B,F]…}
1. 最小权值为2，E[E]!=F[F]，选择EF，将起点为F的全部改成E ~~~~~~~ E对应的起点为[E]，F对应的起点为[E]
2. 最小权值为3，C[C]!=D[D]，选择CD，将起点为D的全部改成C ~~~~~~ C对应的起点为[C]，D对应的起点为[C]
3. 最小权值为4，D[C]!=E[E]，选择DE，将起点为E的全部改成C ~~~~~~ F、E起点都改为[C]
4. 最小权值为5，C[C]==E[C]，C和E对应的起点都是C，不选择CE
5. 最小权值为6，C[C]==F[C]，C和F对应的起点都是C，不选择CF
6. 最小权值为7，B[B]!=F[C]，选择BF，将起点为C的全部改为B~~~~~~~ C对应的起点(E、F、C、D)都改为[B]
7. 最小权值为8，E[B]!=G[G]，选择EG，将起点为G的全部改为B~~~~~~ G对应的起点都改为[B]
8. 最小权值为9，F[B]==G[B]，不选择FG
9. 最小权值为12，A[A]!=B[B]，选择AB，将起点B的全部改为A~~~~~~~~~ B(B、C、D、E、F、G)对应的起点都改为[A]

~~~~~~ A~G共7个顶点，选择了6条边即可完成选择。

五、拓扑排序

看的视频：浙江大学-数据结构P99

一些名词

AOV网：人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，一个工程常被分为多个小的子工程，这些子工程被称为活动（Activity)，在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系。有向无环图才是合理的。
拓扑序列：顶点活动网中将活动按发生的先后次序进行的一种排列。拓扑排序，是对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

基本思想：维护一个队列，一开始为空。首先将入度为0的点加入队列中，每操作并弹出一个顶点，将与该顶点相连的顶点入度-1，并判断入度是否为0，如果入度为0则加入队列中，直至队列为空。

六、关键路径

AOE网：在带权有向图中以顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示该活动持续的时间。
关键路径：路径上各个活动所持续时间之和称为路径长度，则从源点到汇点具有在最大长度的路径即为关键路径。
最大长度路径即加工工序中最耗时的部分，关键路径也就是求加工工序正常完成的最短时间。
~~~~~~ 看的视频：浙江大学-数据结构P100
~~~~~~ 可以看视频进行理解。