从布尔函数的真值表求其代数正规型（ANF）

布尔函数简介

在密码学中，布尔函数是加密算法的核心部件之一。

布尔函数指从 F2n\mathbb{F}_2^nF2n 到 F2\mathbb{F}_2F2 的映射。

简单举例如下：

一个三元(n=3n=3n=3)布尔函数 FFF 是指从 F23\mathbb{F}_2^3F23 到 F2\mathbb{F}_2F2 的映射。
其中，
F23={000,001,010,011,100,101,110,111}F2={0,1}\mathbb{F}_2^3=\{000,001,010,011,100,101,110,111\} \\ \mathbb{F}_2=\{0,1\} F23={000,001,010,011,100,101,110,111}F2={0,1}
我们可以认为 xxx 是 F23\mathbb{F_2^3}F23 中的某个元素，而此时 F(x)F(x)F(x) 的值就是 000 或者 111。

布尔函数表示方法

真值表表示

若 FFF 符合
F(000)=1,F(001)=0F(010)=1,F(011)=0F(100)=0,F(101)=0F(110)=1,F(111)=0F(000) = 1,~ F(001) = 0\\ F(010) = 1,~ F(011) = 0\\ F(100) = 0,~ F(101) = 0\\ F(110) = 1,~ F(111) = 0\\ F(000)=1, F(001)=0F(010)=1, F(011)=0F(100)=0, F(101)=0F(110)=1, F(111)=0
则 f(x)f(x)f(x) 的真值表可以为 {1,0,1,0,0,0,1,0}\{1,0,1,0,0,0,1,0\}{1,0,1,0,0,0,1,0}

小项表示

布尔函数的小项表示由它的真值表唯一确定。
布尔函数是它取值为1的那些真值指派对应的小项函数之和。

三元布尔函数 FFF 如上所述，则小项表示为：
F(x)=x10x20x30+x10x21x30+x11x21x30F(x)=x_1^0x_2^0x_3^0+x_1^0x_2^1x_3^0+x_1^1x_2^1x_3^0 F(x)=x10x20x30+x10x21x30+x11x21x30
其中 x1,x2,x3x_1,x_2,x_3x1,x2,x3 分别是 xxx 的三个分量，所以函数 F(x)F(x)F(x) 也可以写成 F(x1,x2,x3)F(x_1,x_2,x_3)F(x1,x2,x3)
由真值表求小项表示可以仅留下真值为 111 的部分，标注上标即可（仅为求法，有具体含义）。

ANF(代数范式、代数正规型)

上述布尔函数 FFF 的多项式表示为：
F(x)=1+x1+x3+x1x2+x1x3+x1x2x3F(x)=1+x_1+x_3+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_2x_3 F(x)=1+x1+x3+x1x2+x1x3+x1x2x3
这也称为它的ANF。
由真值表求ANF可通过先求小项表示再展开(xi0=xi+1,xi1=xix_i^0=x_i+1,~x_i^1=x_ixi0=xi+1, xi1=xi)的途径：
这样，小项表示即可展开为多项式表示：
F(x)=(x1+1)(x2+1)(x3+1)+(x1+1)x2(x3+1)+x1x2(x3+1)→F(x)=1+x1+x3+x1x2+x1x3+x1x2x3F(x)=(x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)+(x_1+1)x_2(x_3+1)+x_1x_2(x_3+1)\\ \to~F(x)=1+x_1+x_3+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_2x_3 F(x)=(x1+1)(x2+1)(x3+1)+(x1+1)x2(x3+1)+x1x2(x3+1)→ F(x)=1+x1+x3+x1x2+x1x3+x1x2x3

布尔函数中的运算：1+1=0+0=0，0+1=1+0=1，0*0=0*1=1*0=0，1*1=1

包括递归方式求ANF及其他相关代码：https://gitee.com/ssdreamc/about_boolean_functions