矩阵乘法

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矩阵乘法
- 引入
- 例题
- - 斐波那契前 n 项和
  - - 思路
    - 代码
  - 佳佳的斐波那契
  - - 思路
    - 代码

引入

由于线性递推式可以表示成矩阵乘法的形式，也通常用矩阵快速幂来求线性递推数列的某一项。
利用结合律，矩阵乘法可以利用快速幂的思想来优化。

例题

斐波那契前 n 项和

大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2。

现在问题很简单，输入 n 和 m，求 fn 的前 n 项和 Snmodm。

输入格式
共一行，包含两个整数 n 和 m。

输出格式
输出前 n 项和 Snmodm 的值。

数据范围
1≤n≤2000000000
,
1≤m≤1000000010
输入样例：
5 1000
输出样例：
12

思路

已知递推公式 S n + 1 = S n + f n + 1 S_{n + 1} = S_n + f_{n + 1} Sn+1=Sn+fn+1,对于求 S n + 1 S_{n + 1} Sn+1我们要知道 S n 和 f n + 1 S_n和f_{n + 1} Sn和fn+1。
构造矩阵 F n = [ f n , f n + 1 , S n ] F_n = [f_n, f_{n + 1}, S_n] Fn=[fn,fn+1,Sn]。
对于 F n + 1 = [ f n + 1 , f n + 2 , S n + 1 ] F_{n + 1} = [f_{n + 1}, f_{n + 2}, S_{n + 1}] Fn+1=[fn+1,fn+2,Sn+1]等于 F n F_n Fn与矩阵 A = [ [ 0 , 1 , 0 ] , [ 1 , 1 , 1 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ] A = [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]] A=[[0,1,0],[1,1,1],[0,0,1]]相乘，
对于 F n = F 1 ∗ A n − 1 F_n = F_1 * A^{n - 1} Fn=F1∗An−1

代码

from copy import deepcopy
N = 3
F1 = [[0] * N for _ in range(N)]
F1[0] = [1, 1, 1]
A = [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]]def mul(a, b) :tmp = [[0] * N for _ in range(N)]for i in range(N) : # i行for j in range(N) : # j列for k in range(N) :tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % mreturn tmpdef qmi(a, k) :res = deepcopy(F1)while k :if k & 1 :res = mul(res, a)k >>= 1a = mul(a, a)return res
n, m = map(int, input().split())
res = qmi(A, n - 1)
print(res[0][2])

佳佳的斐波那契

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。

在研究完 Fibonacci 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。

例如用 S(n) 表示 Fibonacci 前 n项和 modm
的值，即 S(n)=(F1+F2+…+Fn)modm，其中 F1=F2=1,Fi=Fi−1+Fi−2。

可这对佳佳来说还是小菜一碟。

终于，她找到了一个自己解决不了的问题。

用 T(n)=(F1+2F2+3F3+…+nFn)modm 表示 Fibonacci 数列前 n 项变形后的和 modm 的值。

现在佳佳告诉你了一个 n 和 m，请求出 T(n) 的值。

输入格式
共一行，包含两个整数 n 和 m。

输出格式
共一行，输出 T(n) 的值。

数据范围
1≤n,m≤2^31−1
输入样例：
5 5
输出样例：
1
样例解释
T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)mod5=1

思路

T n + 1 = T n + ( n + 1 ) ∗ f n + 1 T_{n + 1}= T_n + (n +1)* f_{n + 1} Tn+1=Tn+(n+1)∗fn+1，矩阵乘法要使用快速幂推导，等式必须是线性的，也就是保证转移矩阵中只有常数。
对于求取 T n T_n Tn，必须构造一个线性的递推公式(必须包含 T n T_n Tn)的函数。
对于 P n = n S n − T n P_{n} = nS_n - T_n Pn=nSn−Tn有这样的递推公式 P n + 1 = P n + S n P_{n + 1} = P_n + S_n Pn+1=Pn+Sn
构造 F n = [ f n , f n + 1 , S n , P n ] F_n = [f_n, f_{n + 1}, S_n, P_n] Fn=[fn,fn+1,Sn,Pn]， F n + 1 = [ f n + 1 , f n + 2 , S n + 1 , P n + 1 ] F_{n + 1} = [f_{n + 1}, f_{n + 2}, S_{n + 1}, P_{n + 1}] Fn+1=[fn+1,fn+2,Sn+1,Pn+1],
转移矩阵为 A = [ [ 0 , 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 1 , 1 , 0 ] , [ 0 , 0 , 1 , 1 ] , [ 0 , 0 , 0 , 1 ] ] A = [[0, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 1]] A=[[0,1,0,0],[1,1,1,0],[0,0,1,1],[0,0,0,1]]
F n = F 1 ∗ A n − 1 F_n = F_1* A^{n - 1} Fn=F1∗An−1

代码

from copy import deepcopy
N = 4
F1 = [[0] * N for _ in range(N)]
F1[0] = [1, 1, 1, 0]
A = [[0, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1],[0, 0, 0, 1]]
def mul(a, b) :tmp = [[0] * N for _ in range(N)]for i in range(N) :for j in range(N) :for k in range(N) :tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % mreturn tmpdef qmi(a, k) :res = deepcopy(F1)while k :if k & 1 :res = mul(res, a)k >>= 1a = mul(a, a)return resn, m = map(int, input().split())
res = qmi(A, n - 1)
print((n * res[0][2] - res[0][3]) % m)

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