[生成函数][DP] Codeforces 891 E. Lust

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设最后是这个样子 a=(ai−bi)a=(ai−bi)\textbf{a}=(a_i-b_i) ，可以通过数学归纳得到

res=∏iai−∏i(ai−bi)res=∏iai−∏i(ai−bi)

res=\prod_{i}a_i-\prod_{i}(a_i-b_i) 那么考虑组合意义：

E∑ibi=k∏i(ai−bi)==k!∏ibi!1nk∑∑ibi=k∏i(ai−bi)k!nk∑∑ibi=k∏i(ai−bi)bi!E∑ibi=k∏i(ai−bi)=k!∏ibi!1nk∑∑ibi=k∏i(ai−bi)=k!nk∑∑ibi=k∏i(ai−bi)bi!

\begin{eqnarray*} \mathbb{E}_{\sum_{i}b_i=k}\prod_{i}(a_i-b_i)&=b_i!}{1\over n^k}\sum_{\sum_{i}b_i=k}\prod_{i}(a_i-b_i)\\ &=\sum_{\sum_{i}b_i=k}\prod_{i}{(a_i-b_i)\over b_i!} \end{eqnarray*} 考虑生成函数。后面那个式子就等于

[xk]∏i∑j≥0xj(ai−j)j!=[xk]enx∏i(ai−x)[xk]∏i∑j≥0xj(ai−j)j!=[xk]enx∏i(ai−x)

[x^k]\prod_{i}\sum_{j\ge0}{x^j(a_i-j)\over j!}=[x^k]e^{nx}\prod_{i}(a_i-x) 后面的东西可以暴力乘法 O(n2)O(n2)\mathcal{O}(n^2) 算出来。
再考虑 enxenxe^{nx} 的泰勒展开，算出 xkxkx^k 的系数即可。
~~这个题从头到尾应该都是可以FFT优化的？？~~

#include <bits/stdc++.h>
#define show(x) cerr << #x << " = " << x << endl
using namespace std;typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pairs;
typedef vector<int> poly;
const int MOD = 1000000007;
const int N = 5050;inline char get(void) {static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;if (S == T) {T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);if (S == T) return EOF;}return *S++;
}
template<typename T>
inline void read(T &x) {static char c; x = 0; int sgn = 0;for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get()) if (c == '-') sgn = 1;for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';if (sgn) x = -x;
}int a[N];
int n, k, ans;
poly c;inline void add(int &x, int a) {x = (x + a >= MOD) ? x + a - MOD : x + a;
}
inline void sub(int &x, int a) {x = (x < a) ? x - a + MOD : x - a;
}
inline poly operator *(poly a, poly b) {static poly c; c.clear();c.resize(a.size() + b.size() - 1);for (int i = 0; i < a.size(); i++)for (int j = 0; j < b.size(); j++)add(c[i + j], (ll)a[i] * b[j] % MOD);return c;
}
inline int pwr(int a, int b) {if (b < 0) b += MOD - 1;int c = 1;while (b != 0) {if (b & 1) c = (ll)c * a % MOD;b >>= 1; a = (ll)a * a % MOD;}return c;
}
inline int A(int n, int m) {int res = 1;for (int i = 0; i < m; i++)res = (ll)res * (n - i) % MOD;return res;
}
inline poly base(int x) {static poly c; c.clear();c.emplace_back(x);c.emplace_back(MOD - 1);return c;
}
inline void watch(poly x) {cerr << "{ ";for (int u: x) cerr << u << ", ";cerr << " }" << endl;;
}int main(void) {freopen("1.in", "r", stdin);freopen("1.out", "w", stdout);read(n); read(k);c.emplace_back(1);for (int i = 1; i <= n; i++) {read(a[i]);c = c * base(a[i]);// watch(c);}for (int j = 1; j < c.size(); j++)sub(ans, (ll)c[j] * A(k, j) % MOD * pwr(n, -j) % MOD);cout << ans << endl;return 0;
}

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