三角分解（LU分解）

作者：HDU-STEA_banjiu

时间：2021/1/11

1.LU分解的意义

在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

使用LU分解可以提高计算效率。

2.LU分解的过程

**最终结果：**需要将矩阵A分解为
A=L⋅UA=L\cdot U A=L⋅U
其中矩阵L为对角线为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵。具体如下：
A=[101aaabba],L=[100i110i2i31]，U=[u11u12u130u22u2300u33]A=\begin{bmatrix} 1&0&1\\ a&a&a\\ b&b&a\\ \end{bmatrix}, L=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ i_1&1&0\\ i_2&i_3&1\\ \end{bmatrix}， U=\begin{bmatrix} u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ 0&u_{22}&u_{23}\\ 0&0&u_{33}\\ \end{bmatrix} A=⎣⎡1ab0ab1aa⎦⎤,L=⎣⎡1i1i201i3001⎦⎤，U=⎣⎡u1100u12u220u13u23u33⎦⎤

（1）对矩阵A进行初等行变换将其变为一个上三角矩阵，得到U。

A[101aaabba]⟹E21B[1010a0bba]⟹E31C[1010a00ba−b]⟹E32U[1010aa00a−b]A \begin{bmatrix} 1&0&1\\ a&a&a\\ b&b&a\\ \end{bmatrix} \stackrel{E_{21}} \Longrightarrow %箭头 B \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&0\\ b&b&a\\ \end{bmatrix} \stackrel{E_{31}} \Longrightarrow C \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&0\\ 0&b&a-b\\ \end{bmatrix} \stackrel{E_{32}} \Longrightarrow U \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&a\\ 0&0&a-b\\ \end{bmatrix} A⎣⎡1ab0ab1aa⎦⎤⟹E21B⎣⎡10b0ab10a⎦⎤⟹E31C⎣⎡1000ab10a−b⎦⎤⟹E32U⎣⎡1000a01aa−b⎦⎤

（2）记录初等行变换过程左乘所使用的矩阵，累乘其逆矩阵得到L。

要从矩阵A变换到矩阵B，即将矩阵A第二行减去第一行乘以a，这就等同于矩阵A左乘E21E_{21}E21：
E21A=B[100−a10001][101aaabba]=[1010a0bba]E_{21}A=B\\ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ -a&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ a&a&a\\ b&b&a\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&a&0\\ b&b&a\\ \end{bmatrix} E21A=B⎣⎡1−a0010001⎦⎤⎣⎡1ab0ab1aa⎦⎤=⎣⎡10b0ab10a⎦⎤
如此，我们便可得到E21E_{21}E21。

同样，我们可以得到E31、E32E_{31}、E_{32}E31、E32，如下：
E31=[100010−b01]，E32=[1000100−b/a1]E_{31}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ -b&0&1\\ \end{bmatrix}， E_{32}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-b/a&1\\ \end{bmatrix} E31=⎣⎡10−b010001⎦⎤，E32=⎣⎡10001−b/a001⎦⎤
由于A=L⋅UA=L\cdot UA=L⋅U，并且A=E21−1⋅E31−1⋅E32−1⋅UA=E_{21}^{-1}\cdot E_{31}^{-1}\cdot E_{32}^{-1}\cdot UA=E21−1⋅E31−1⋅E32−1⋅U。

如此，不难得到，L=E21−1⋅E31−1⋅E32−1L=E_{21}^{-1}\cdot E_{31}^{-1}\cdot E_{32}^{-1}L=E21−1⋅E31−1⋅E32−1，那么我们就可以得到LLL为：
L=[100a10001]⋅[100010b01]⋅[1000100b/a1]=[100a10bb/a1]L=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ a&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ b&0&1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&b/a&1\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ a&1&0\\ b&b/a&1\\ \end{bmatrix} L=⎣⎡1a0010001⎦⎤⋅⎣⎡10b010001⎦⎤⋅⎣⎡10001b/a001⎦⎤=⎣⎡1ab01b/a001⎦⎤

3.LU分解的使用前提

矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）；
矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量；
消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。

4.相关学习资料

LU分解短视频
LU分解的快速求解—矩阵的LU分解步骤-待定系数法
2021-01-11