初等数论-孙子定理 一谈
背景
- 在我国古代的 《孙子算经》 一书中提到
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”答曰:“二十三”。
- 以上问题可以表示成解一般的同余式组:
X≡2(mod3)
X≡3(mod5)
X≡2(mod7) - 令 a=2,b=3,c=2,上述式子又等于
X≡a(mod3)
X≡b(mod5)
X≡c(mod7) - 则有 X≡70a+21b+15c(mod105)
- 关于这个解一般的同余式组解法,在明朝程大位的 《算法统宗》 里有一首歌:
三人同行七十稀,五树梅花甘一枝,七十团圆整半月,除百零五便得知。
- 译:三个人共同走路,其中有七十岁以上的老人可能性很少,五棵梅花树总共二十一枝,七个孩子当正月十五日时在家中团圆,把一百零五的某个倍数减去,就得到答案。
- 关于同余式的解法研究,我国古代有着极光辉的成果,那就是数学家——孙子,发明了驰名中外的 孙子定理 。
定理
- 如果K≥2,且 m1,m2,m3,…,mk是两两互素的K个整数,令M=m1m2m3…mk=m1M1=m2M2=m3M3=…=mkMk,则同时满足X≡b1(mod m1),X≡b2(mod m2),X≡b3(mod m3),…,X≡bk(mod mk)的正整数解是
- X≡b1M1’M1+b2M2’M2+b3M3’M3+…+bkMk’Mk,其中Mi’是满足同余式
- Mi’Mi≡1(mod mi)
例题
以文章开始提到的背景为例,首先确定M1,M2,M3
M1=5*7=35
M2=3*7=21
M3=3*5=15再来求 M1’,M2’,M3’
1≡M1’M1(mod3)≡35M1’(mod3)≡2M1’(mod3),故 M1’=2
1≡M2’M2(mod5)≡21M2’(mod5)≡1M2’(mod5),故 M2’=1
1≡M3’M3(mod7)≡35M3’(mod7)≡1M3’(mod7),故 M3’=1
据定理,有
X≡2*2*35+3*1*21+2*1*15(mod3*5*7),即X≡23(mod105)。
故
X=23+105K ,其中 k=0,1,2…
参见 《初等数论(Ⅰ)》(陈景润 著)
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