快乐地打牢基础（13）——普通型母函数和指数型母函数的应用

母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。 ——赫伯特·唯尔夫。

一、普通型母函数

1.定义

对于任意数列 a 0 , a 1 , a 2 . . . a n a_0,a_1,a_2...a_n a0,a1,a2...an，用如下方法与一个函数联系起来：
G ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n G(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n G(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
则称 G ( x ) G(x) G(x)是数列的母函数(generating function)（也叫生成函数）。
其一般形式为：
G ( a n ; x ) = ∑ i = 1 a i x i \displaystyle G(a_n;x)=\sum_{i=1}a_ix^i G(an;x)=i=1∑aixi

2.应用

组合数学的主要内容是计数，母函数是组合数学中的一个重要理论和工具。那么它是怎么应用的呢？

普通型母函数主要是解决求有限多重集的组合普通型母函数主要是解决求有限多重集的组合普通型母函数主要是解决求有限多重集的组合

设元素 a 1 , a 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{1},a_{1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{n} a1,a1,⋅⋅⋅,an 互不相同，从有限多重集 { K 1 ⋅ a 1 , K 2 ⋅ a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ K n ⋅ a n } \left\{ K_{1} \cdot a_{1},K_{2} \cdot a_{2}, \cdot \cdot \cdot K_{n} \cdot a_{n} \right\} {K1⋅a1,K2⋅a2,⋅⋅⋅Kn⋅an}中选取 r r r 个元素，至少存在一个 K i < r K_{i} < r Ki<r 时，求其组合。

下面举一个应用实例来理解这个问题：

现在我有两个色子，每个色子有六个面，每个色子掷一次，问两个色子投掷后加起来一共六点的情况有多少种？

我们数一数，根据加法原理：

6 = 1 + 5 = 5 +１
6＝ 2 + 4 = 4 + 2
6 = 3 + 3

根据乘法原理

第一次取 1,2,3,4,5 共五种方式
由于第一次已经取好，所以第二次的取法是固定的只有一种

综上，加起来点数为 6 一共是五种。

但是如果有 n n n 个色子呢？显然就很难这样计算出来了

我们这时就需要母函数了。
我们可以 x , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6 x,x2,x3,x4,x5,x6 和色子的 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6点映射对应起来。

按照乘法原理，我们可以将两次色子的投掷看成是两个多项式相乘。
例如投掷 6 点
第一次投的是 4 点，第二次是 2 点。和 x 4 x 2 = x 6 x^4 x^2=x^6 x4x2=x6对应起来。

那么第一次投掷可能取 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6点，这些情况是不可能同时发生的，那么根据加法原理：
第一次投掷就可以和多项式 ( x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6) (x+x2+x3+x4+x5+x6) 形成一个映射关系， x i x^i xi就表示投掷出了 i i i 点。
那么两次投掷的过程就能表示为两个多项式的乘积：
( x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) ∗ ( x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)*(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6) (x+x2+x3+x4+x5+x6)∗(x+x2+x3+x4+x5+x6)
乘积的结果是
x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 5 x 6 + 6 x 7 + 5 x 8 + 4 x 9 + 3 x 10 + 2 x 11 + x 12 x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+5x^8+4x^9+3x^{10}+2x^{11}+x^{12} x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+5x8+4x9+3x10+2x11+x12
x 6 : x 1 x 5 + x 2 + x 4 + x 3 x 3 + x 4 x 2 + x 5 x 1 = 5 x 6 x^6:x^1x^5+x^2+x^4+x^3x^3+x^4x^2+x^5x^1=5x^6 x6:x1x5+x2+x4+x3x3+x4x2+x5x1=5x6

我们发现 x 6 x^6 x6的系数就是两次投掷点数和为 6 的方法数。

到此我们可以得到一个结论：

投掷 m m m 粒色子时，加起来点数的综合化等于 n n n的可能方式的数目为：
G ( x ) = ( x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) m G(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^m G(x)=(x+x2+x3+x4+x5+x6)m
展开式中 x n x^n xn的系数。

很明显 G ( x ) G(x) G(x)就是序列 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } \{1,2,3,4,5,6\} {1,2,3,4,5,6}的一个母函数，这个例子也很好的说明了母函数的应用：

将计数问题映射成多项式的乘法运算来解决

HDU 1028 Ignatius and the Princess II
题意

给定一个数 N N N，问 N N N拆成若干个整数有多少中拆分方法？

思路
使用母函数进行映射
取 0 个 1 1 1: x 0 x^0 x0
取 1 个 1 1 1: x 1 x^1 x1
取 2 个 1 1 1: x 2 x^2 x2
取 1 1 1 对应的母函数: ( 1 + x + x 2 + . . . + x k + . . . ) (1+x+x^2+...+x^k+...) (1+x+x2+...+xk+...)
取 2 2 2 对应的母函数: ( 1 + x 1 + x 4 + . . . + x 2 k . . . ) (1+x^1+x^4+...+x^{2k}...) (1+x1+x4+...+x2k...)
G ( x ) = ( 1 + x + x 2 + . . . ) ( 1 + x 2 + x 4 + . . . ) ( 1 + x 2 + x 4 + . . . ) ( 1 + x N ) G(x) = (1+x+x^2+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^N) G(x)=(1+x+x2+...)(1+x2+x4+...)(1+x2+x4+...)(1+xN)

x N x^N xN的系数就是我们要求的答案。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;const int N = 1000;
ll a[N],b[N];
int n;void mother_fun()
{a[0] = 1;for(int i = 1; i <= n ; i++){memset(b,0,sizeof(b));for(int j = 0; j * i <= n; j++){for(int k = 0; k <= n; k++){b[i * j + k] += a[k] ;}}memcpy(a,b,sizeof(b));}
}
int main()
{while(scanf("%d",&n)!= EOF){memset(a,0,sizeof(a));mother_fun();printf("%lld\n",a[n]);}return 0;
}

二、指数型母函数

1.定义

序列 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an的指数型母函数为：
E G ( a n ; x ) = ∑ i = 0 a i x i i ! \displaystyle EG(a_n;x)=\sum_{i = 0}a_i\frac{x^i}{i!} EG(an;x)=i=0∑aii!xi

2.应用

从上面的学习，我们可以知道：普通型的母函数是一个解决求有限多重集的组合的有效工具，而指数型函数是
指数型母函数主要是解决求有限多重集的排列指数型母函数主要是解决求有限多重集的排列指数型母函数主要是解决求有限多重集的排列
设元素 a 1 , a 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{1},a_{1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{n} a1,a1,⋅⋅⋅,an互不相同，从有限多重集 { K 1 ⋅ a 1 , K 2 ⋅ a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ K n ⋅ a n } \left\{ K_{1} \cdot a_{1},K_{2} \cdot a_{2}, \cdot \cdot \cdot K_{n} \cdot a_{n} \right\} {K1⋅a1,K2⋅a2,⋅⋅⋅Kn⋅an}中选取 r r r 个元素，至少存在一个 K i < r K_{i} < r Ki<r 时，求其排列。

我们比较普通型母函数和指数型母函数，可以看出普通型的母函数的标志函数为 1 , x , x 2 , . . . , x n 1,x,x^2,...,x^n 1,x,x2,...,xn；而指数型函数的标志函数为 1 , x / 1 ! , x 2 / 2 ! , x 3 / 3 ! . . . , x n / n ! 1,x/1!,x^2/2!,x^3/3!...,x^n/n! 1,x/1!,x2/2!,x3/3!...,xn/n!。
这样的映射也有其意义：

x i i ! \displaystyle\frac{x^i}{i!} i!xi 代表的意义是：在某个方案中某个元素出现了 i i i 次，而在不同位置中的 i i i 次出现是相同的。

另外，在指数型母函数使用的过程中，一般都会用到高等数学里的 e x e^x ex的泰勒展开式：
e x = ∑ n = 0 x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! . . . + x n n ! + . . . e^x=\sum_{n=0}\frac{x^n}{n!}=1 + x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}...+\frac{x^n}{n!}+... ex=n=0∑n!xn=1+x+2!x2+3!x3...+n!xn+...
( e x + e − x ) / 2 = ∑ n = 0 x 2 n 2 n ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! . . . + x 2 n 2 n ! + . . . (e^x+e^{-x})/2=\sum_{n=0}\frac{x^{2n}}{2n!}=1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...+\frac{x^{2n}}{2n!}+... (ex+e−x)/2=n=0∑2n!x2n=1+2!x2+4!x4...+2n!x2n+...
( e x − e − x ) / 2 = ∑ n = 0 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! . . . + x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + . . . (e^x-e^{-x})/2=\sum_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+... (ex−e−x)/2=n=0∑(2n+1)!x2n+1=x+3!x3+5!x5...+(2n+1)!x2n+1+...
下面来举个例子：

由 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4四个数字组成的五位数中，要求数 1 1 1出现两次或三次， 2 2 2 最多出现一次， 4 4 4 出现偶数次。

这很明显是一个排列数的问题，在我们有了上述普通型母函数的经验之后，我们可以类似地开始构造我们的指数型母函数：

1 1 1 出现两次或三次，对应的母函数： x 2 2 ! + x 3 3 ! \displaystyle\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} 2!x2+3!x3
2 2 2 最多出现一次，对应的母函数: 1 + x 1 ! \displaystyle1+\frac{x}{1!} 1+1!x
3 3 3 出现没有要求， 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! + . . . \displaystyle1+ \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+... 1+1!x+2!x2+3!x3+...+n!xn+...
4 4 4 出现偶数次， 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! . . . + x 2 n 2 n ! + . . . \displaystyle1+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}...+\frac{x^{2n}}{2n!}+... 1+2!x2+4!x4+6!x6...+2n!x2n+...

那么本题的母函数：
G ( x ) = ( x 2 2 ! + x 3 3 ! ) ∗ ( 1 + x 1 ! ) ∗ ( 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! + . . . ) ∗ ( 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! . . . + x 2 n 2 n ! + . . . ) \displaystyle G(x) = (\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!})*(1+\frac{x}{1!})*(1+ \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...)*(1+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}...+\frac{x^{2n}}{2n!}+...) G(x)=(2!x2+3!x3)∗(1+1!x)∗(1+1!x+2!x2+3!x3+...+n!xn+...)∗(1+2!x2+4!x4+6!x6...+2n!x2n+...)

因为， e x = ∑ n = 0 x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! . . . + x n n ! + . . . e^x=\sum_{n=0}\frac{x^n}{n!}=1 + x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}...+\frac{x^n}{n!}+... ex=n=0∑n!xn=1+x+2!x2+3!x3...+n!xn+...
( e x + e − x ) / 2 = ∑ n = 0 x 2 n 2 n ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! . . . + x 2 n 2 n ! + . . . (e^x+e^{-x})/2=\sum_{n=0}\frac{x^{2n}}{2n!}=1 +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...+\frac{x^{2n}}{2n!}+... (ex+e−x)/2=n=0∑2n!x2n=1+2!x2+4!x4...+2n!x2n+...

所以
G ( x ) = ( x 2 2 ! + x 3 3 ! ) ∗ ( 1 + x 1 ! ) ∗ e x ∗ ( e x + e − x ) / 2 G(x)=(\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!})*(1+\frac{x}{1!})*e^x*(e^x+e^{-x})/2 G(x)=(2!x2+3!x3)∗(1+1!x)∗ex∗(ex+e−x)/2
= ( x 2 4 + x 3 3 + x 4 12 ) ∗ ( e 2 x + 1 ) =\displaystyle(\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{12})*(e^{2x}+1) =(4x2+3x3+12x4)∗(e2x+1)
我们要求的是 5 5 5 位数，那么我们的答案就应该是 x 5 5 ! \displaystyle\frac{x^5}{5!} 5!x5前面的系数。
我们已经有了 x 2 , x 3 , x 4 x^2,x^3,x^4 x2,x3,x4，所以只需要补上 x 3 , x 2 , x 1 x^3,x^2,x^1 x3,x2,x1

将 e 2 x e^{2x} e2x按泰勒展开后，可以得到系数是：

5 ! ∗ ( 1 4 ∗ 2 3 3 ! + 1 2 ∗ 2 2 2 ! + 1 12 ∗ 2 1 1 ! ) = 140 5!*(\frac{1}{4}*\frac{2^3}{3!}+\frac{1}{2}*\frac{2^2}{2!}+\frac{1}{12}*\frac{2^1}{1!})=140 5!∗(41∗3!23+21∗2!22+121∗1!21)=140

HDU 1521 排列组合
题意

有n种物品，并且知道每种物品的数量。要求从中选出m件物品的排列数。例如有两种物品A,B，并且数量都是1，从中选2件物品，则排列有"AB","BA"两种。

思路

根据题意，这是一个多重集的排列数问题，所以考虑使用指数型生成函数，然后就是一顿模板。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;const int N = 107;
int n,m;
int num[N];
double a[N] = {0},b[N] = {0};
//求阶乘
int fac(int n) {int res = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) res *= i;return res;
}
//指数型母函数
void mother_fun() {for(int i = 0; i <= num[1]; i++) a[i] = 1.0 / fac(i);for(int cur = 2; cur <= n; cur++) {memset(b,0,sizeof(b));for(int i = 0 ; i <= num[cur]; i++) {for(int k = 0; k  + i <= m; k++) {b[i + k] += a[k] / fac(i) ;}}memcpy(a,b,sizeof(b));}printf("%.0lf\n",a[m]*fac(m));
}
int main() {//freopen("data.in","r",stdin);while(scanf("%d%d",&n,&m)!= EOF) {memset(a,0,sizeof(a));for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",num + i);mother_fun();}return 0;
}