离散概率分布

一、伯努利分布（Bernoulli distribution）

伯努利分布又称“0-1分布”“两点分布”。

伯努利分布指的是对于随机变量X有, 参数为p(0<p<1)，如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。EX= p,DX=p(1-p)。伯努利试验成功的次数服从伯努利分布,参数p是试验成功的概率。伯努利分布是一个离散型机率分布，是N=1时二项分布的特殊情况。

定义

一个非常简单的试验是只有两个可能结果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复。为方便起见，记这两个可能的结果为0和1，下面的定义就是建立在这类试验基础之上的。
如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：
                                                   P_r(X=1)=p,P_r(X=0)=1-p,0<p<1
则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1-p，则X的概率函数可写为：

要证明该概率函数f(x | p) 确实是公式所定义的伯努利分布，只要注意到 f(1 | p)=p，f(0 | p)=q，就很容易得证。如果X服从参数为p的伯努利分布，则：

二、二项分布(Binomial distribution)

二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。如果试验E是一个n重伯努利试验，每次伯努利试验的成功概率为p，X代表成功的次数，则X的概率分布是二项分布，记为X~B(n,p)。其概率分布为

其含义为做n次伯努利试验，有k次发生事件A且有n-k次不发生事件A的概率。

从定义可以看出，伯努利分布是二项分布在n=1时的特例。
二项分布名称的由来，是由于其概率质量函数中使用了二项系数，该系数是二项式定理中的系数，二项式定理由牛顿提出。
二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。

三、泊松分布

泊松分布是用于描述某场合某单位时间内，源源不断的质点来流的个数，比如：某大型超市晚上8-9点，源源不断进入商场的顾客数是服从泊松分布的。还比如某段时间内网站的访问人数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等都是服从泊松分布的。

泊松分布可由二项分布推导而来
泊松分布需要做以下假定：
1.一个事件在一段时间或空间内发生的平均次数或数学期望为λ。
2.将这段时间或空间分成n等份，在每一等份的时间或空间内，这个事件发生的概率为λ/n，当n很大时，λ/n很小，即在这段内，要发生两次或者更多次事件是不可能的。因此在这段时间内不发生该事件的概率表示为1-λ/n。
3.在n个等份中，每个等份是否发生该事件是独立的；
根据以上条件，在这段时间内，该事件发生k次的概率服从二项分布，可以得到概率表示如下：

所以，有：

推导过程：https://www.bilibili.com/video/BV1B54y1s7Ud?spm_id_from=333.337.search-card.all.click

四、几何分布

几何分布仍然是基于伯努利试验，但这次不是进行1次，也不是进行固定的n次，而是可以进行无穷次，那什么时候停止呢？几何分布试验结束的条件是：“首中即停止”，即一旦事件A发生则停止试验；比如：我们投篮，如果投中，则试验停止；如果一直投不中，则一直投一直投，投到天荒地老，直到投进我们的试验才算结束。还比如我们日常生活中，求灯泡坏掉的概率，其实也都是几何分布。
几何分布的概率分布为：
P(X=k)=(1-p)^(k-1)p, k=1,2,…
它的含义是：进行n次伯努利试验（n次可以是无穷大），试验k次才得到第一次成功的机率；即前k-1次事件A都不发生，第k次发生的概率。

连续概率分布

一、正态分布

正态分布（Normal distribution）又称为高斯分布（Gaussian distribution）,是统计学中一个重要且常见的连续概率分布。

正态分布在实践中成功地被广泛应用，主要是因为正态分布在数学方面具有多种稳定性质，这些性质包括：

1.两个正态分布密度的乘积还是正态分布

2.两个正态分布密度的卷积还是正态分布，也就是两个正态分布的和还是正态分布

3.正态分布N(0，σ^2)的傅里叶变换还是正态分布

4.中心极限定理保证了多个随机变量的求和效应将导致正态分布

5.正态分布和其它分布具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵

前三个性质说明了正态分布一旦形成，就容易保持该形态的稳定。后两个性质则说明，其它的概率分布在各种操作之下容易越来越靠近正态分布。

二、均匀分布

设连续随机变量X的一切可能值充满一个有限区间[a,b],且在该区间内任意点概率的密度相同,即密度函数f(x)在区间[a,b]上为常量,称此分布为均匀分布 ,记作U(a,b)

三、指数分布

指数分布是描述泊松分布中事件发生时间间隔的概率分布。
指数分布有如下的适用条件：
1.x是两个事件发生之间的时间间隔，并且x>0;
2. 事件之间是相互独立的；
3. 事件发生的频率是稳定的；
4. 两个事件不能发生在同一瞬间。

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