数学建模：17 微分方程
目录
Matlab求解微分方程
解析解
数值解
一阶微分方程
高阶微分方程
人口预测模型
Malthus 马尔萨斯模型
Logistic 阻滞增长模型
matlab曲线拟合工具箱 Curve fitting
捕食者猎物模型
结果分析
种群竞争模型
种群依存模型
传染病模型
SI模型
参数β（接触率）降低的情况
考虑出生率与死亡率
只考虑疾病的死亡率
编辑
考虑出生率、死亡率、因病死亡率
SIS模型
康复率提升
出生率、死亡率、因病死亡率
SIR模型
康复率增加
因病死亡率
SIRS模型
因病死亡
完全和不完全康复
SEIR模型
潜伏者没有传染性
潜伏者有传染性
Matlab求解微分方程
先尝试求解析解（即函数表达式），求不出再求数值解（求出很多个数值，就能画图由离散的值近似原本的函数表达式图像）
解析解
% 方法1
dsolve('y-Dy=2*x','y(0)=3','x')
% 解析解：y = 2*x + exp(x) + 2
% Dy表示一阶微分 dy/dx
% D2y表示二阶微分% 方法2
syms y(x)
eqn = (y - diff(y,x) == 2*x); % 要用双等号！！
cond = (y(0) == 3); % 初始条件
dsolve(eqn,cond)
% diff(y,x) 即 dy/dx% 方法1
dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
% 3*sin(5*x)*exp(-2*x)%%%%%%%% 画图：点乘！！！
x = -2:0.01:2;
y = 3*sin(5.*x)*exp(-2*x)
plot(x,y,'b-')% 方法2
syms y(x)
eqn = (diff(y,x,2) + 4 *diff(y,x) + 29*y == 0);
Dy = diff(y,x); % 定义变量Dy为y的一阶导数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
cond = [(y(0) == 0) ,(Dy(0) ==15)] ; % 有两个条件，可以写到一个向量中保存
dsolve(eqn,cond)
% 3*sin(5*x)*exp(-2*x)% 方法1
[x,y,z] = dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z+t','Dy=4*x-5*y+3*z+t','Dz=4*x-4*y+2*z+t','t')
A = dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z+t','Dy=4*x-5*y+3*z+t','Dz=4*x-4*y+2*z+t','t')
A.x% 方法2
syms x(t) y(t) z(t)
eqn1 = (diff(x,t) == 2*x-3*y+3*z+t);
eqn2 = (diff(y,t) == 4*x-5*y+3*z+t);
eqn3 = (diff(z,t) == 4*x-4*y+2*z+t);
eqns = [eqn1 eqn2 eqn3];
[x,y,z] = dsolve(eqns)求出解析解后，画图：记得把解析解中的加减乘除 换成 点乘、点乘方！！！
simplify(y) % simplify函数可以简化表达式
latex(y) % 转换成latex代码，复制到Axmath或者word自带的公式编辑器数值解
[x,y] = ode45('df1',[0,2],3);
% [x,y] = ode45(@df1,[0,2],3); % 解决非刚性问题，这个解不出就试一试ode15s
% [x,y] = ode23('df1',[0,2],3);
% [x,y] = ode113('df1',[0,2],3);
% [x,y] = ode15s('df1',[0,2],3); % 解决刚性问题%% 设定相对误差reltol和绝对误差，这样可以提高微分方程数值解的精度
options = odeset('reltol',1e-4,'abstol',1e-8);
[x,y] = ode45('df1',[0,2],3,options);%% 如果觉得x的间隔不够小，我们可以指定要求解的位置
[x,y] = ode45('df1',[0:0.001:2],3,options);%%%%% 有参数的话只能用函数句柄传参
[t,x]=ode45(@(t,x) newfun2(t,x,GAMMA),[1:500],[N-i0 i0 0]);一阶微分方程
先看有没有解析解，没有才求数值解
注意 .m 文件中要将微分方程写成标准形式（等式左边是一阶微分，右边是剩余部分）
%% 先看有无解析解，如果没有解析解再考虑数值解
[y1 y2 y3] = dsolve('Dy1=y2*y3','Dy2=-y1*y3','Dy3=-0.51*y1*y2','y1(0)=0,y2(0)=1,y3(0)=1','x')%% 调用ode45函数求解微分方程df2.m，
% 自变量x的范围为[0,4*pi] ;初始值: y1(0)=0,y2(0)=y3(0)=1
[x, y] = ode45('df2', [0 4*pi], [0 1 1]);
% 返回值y是一个有3列的矩阵，第一列是y1、以此类推% x 是范围中的一些取值，y是x对应的函数值，画出图像后用离散的数值解近似解析解的图像
plot(x, y(:,1), 'o', x, y(:,2), '*', x, y(:,3), '+')
legend('y1','y2','y3') % 加上标注
axis([0, 4*pi, -inf, +inf]) % 设置横坐标范围为0-4pi，纵坐标范围不需要设置，写成-inf到+inf%%% df2.m文件：
function dy = df2(x,y) % x是自变量，y是因变量，由y1,y2,y3组成 dy = zeros(3,1); % 初始化用来储存因变量一阶导数的列向量（不能写成行向量）dy(1) = y(2) * y(3);dy(2) = -y(1) * y(3);dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
% 上面四行可以写成一行： dy = [ y(2) * y(3); -y(1) * y(3); -0.51 * y(1) * y(2)]
end高阶微分方程
高阶微分方程求数值解，必须先转化为一阶微分方程（高数中学过的方法降阶）
% 先看这个微分方程有没有解析解
dsolve('D2y=1000*(1-y^2)*Dy-y','y(0)=2,Dy(0)=0','x') % 警告: Explicit solution could not be found. % 下面计算数值解
% 如果使用ode45函数会发现计算的非常慢，matlab一直显示正忙(windows电脑在命令行窗口按Ctrl+C可以终止运行)
% [x,y]=ode45('df4',[0,3000],[2,0]); % 求出这个微分方程df4的数值解
% 所以我们可以使用刚性问题的函数ode15s对其求解
[x,y]=ode15s('df4',[0,3000],[2,0]); % 求出这个微分方程df4的数值解
plot(x,y(:,1),'*') % 注意，y变量有两列，第一列是y1(我们要求的y)，第二列是y2(y的一阶导数)%%%%%%%%%%%%%% df4.m
function dy=df4(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
end人口预测模型
Malthus 马尔萨斯模型
模型假设与推导：（绿框中为结果）
存在的问题：r 不是常数，随人口增大而减小，先假设是线性的递减函数（工程师原则）—— logistic模型
Logistic 阻滞增长模型
f(t) = xm/(1+(xm/3.9-1)*exp(-r*(t-1790)))
matlab曲线拟合工具箱 Curve fitting
自定义拟合方程：
在高级选择项中修改参数使得更加拟合：（修改了右下方的r、xm的起点、上下限）
捕食者猎物模型
只考虑一对捕食者与食饵：（基于指数增长的马尔萨斯模型）
食饵单独存在时候的增长率（受到捕食者数目的影响）、捕食者单独存在的死亡率（受到食饵数目的影响）、人工捕获食饵的影响（减少食饵增长率、增大捕食者死亡率）
食饵考虑增长率 dx/dt = rx 是正号，鲨鱼考虑死亡率 dx/dt = -rx 是负号！！！
食饵考虑被捕食的影响（负向影响），该影响与捕食者数目成正比，即 -λx；
捕食者考虑捕食的影响（正向影响），该影响与食饵数目成正比，即 +λx；
参数 x1 和 x2 的初值、r、e、λ 的值都自己确定，用 ode45 解
结果分析
相轨线图：
种群竞争模型
竞争存在于资源有限的情况下，所以基于logistic模型考虑种群自然生长的情况，还应考虑竞争者对自己食物的竞争能力（与对方的数目 x/N 成比例）
考虑的都是增长率
这里相乘 > 1 的话，画出来的图像不稳定！！
种群依存模型
考虑自身数目的阻滞作用（基于logistic模型）
传染病模型
易感者 S （Susceptible）
潜伏者 E （Exposed）
感染者 I （Infected）
康复者 R （Recovered）
基础模型：
总人数 N 只包括在传染病系统中的总人数，在SIR模型康复了不会再感染的人不包括在N中，所以在SIR模型中 N'=S+I 人数变化；
但在SI、SIS模型中 N = S+I 恒定；
但在SISRS模型康复了的人还会再患病，所以 N = S+I+R 恒定
SEIR中，由于有人完全康复所以人数变化 N'=S+E+I扩展模型：
考虑出生率、死亡率、因病死亡率时，总人数不是恒定的，所以在SIR模型、SI、SIS模型中仍有 N'=S+I 人数变化；
SIRS中，考虑出生死亡因病死亡 N'=S+I；
考虑 R 分为完全康复 R1（不会再患病）、可能再患病 R2， N'=S+I+R2
规律：
- 有几个状态就有几个针对该状态的微分方程，方框中的是状态：对方框中的状态求微分 dS、dI、dE、dR、dND自然死亡、dID因病死亡
- 状态转移图中，输入线对应方程中的 + 号、输出线是 - 号
SI模型
不考虑人口的迁徙和出生死亡，人口总人数 N = S + I
微分方程：人为给定 β、N，求 S、I 的数值解并画出图像
参数β（接触率）降低的情况
function dx=fun2(t,x) global TOTAL_N % 定义总人数为全局变量beta = 0.1; % 易感染者与已感染者接触且被传染的强度if t > 60beta = beta/10; % 第60期后禁止大规模聚会，使得传染强度beta缩小为原来的10倍end
% beta = 0.1 - 0.001*t
% if beta < 0
% beta = 0;
% enddx = zeros(2,1); % x(1)表示S x(2)表示Idx(1) = - beta*x(1)*x(2)/TOTAL_N; dx(2) = beta*x(1)*x(2)/TOTAL_N;
end考虑出生率与死亡率
只考虑疾病的死亡率
考虑出生率、死亡率、因病死亡率
SIS模型
治愈后又再患病，治愈率为 α
康复率提升
医疗设备升级、建立医院
出生率、死亡率、因病死亡率
与SI类似
SIR模型
这里的康复指的是产生 抗体，不会再感染，前面的SIS是没有产生抗体的暂时恢复
康复率增加
疫苗、医疗设备升级
因病死亡率
SIRS模型
因病死亡
完全和不完全康复
SEIR模型
潜伏者没有传染性
潜伏者有传染性
把未感染者被感染的概率分为 被潜伏者感染、被感染者感染
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