卷积层

卷积神经网络（convolutional neural network）是含有卷积层（convolutional layer）的神经网络。它有高和宽两个空间维度，常用来处理图像数据。下面我们将介绍简单形式的二维卷积层的工作原理。

卷积计算

在二维卷积层中，一个二维输入数组和一个二维核（kernel）数组通过互相关运算输出一个二维数组。我们用一个具体例子来解释二维互相关运算的含义。如图5.1所示，输入是一个高和宽均为3的二维数组。我们将该数组的形状记为3×33×3或（3，3）。核数组的高和宽分别为2。该数组在卷积计算中又称卷积核或过滤器（filter）。卷积核窗口（又称卷积窗口）的形状取决于卷积核的高和宽，即2×22×2。图中的阴影部分为第一个输出元素及其计算所使用的输入和核数组元素：0×0+1×1+3×2+4×3=190×0+1×1+3×2+4×3=19。

一般来说，当卷积核的形状为(kh×kw)(k_h \times k_w)(kh×kw)时，输出的形状为
(nh−kh+1)×(nk−kh+1)(n_h - k_h + 1)\times(n_k - k_h + 1)(nh−kh+1)×(nk−kh+1)

import torch
from torch import nndef corr2d(X, K):  h, w = K.shapeY = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))for i in range(Y.shape[0]):for j in range(Y.shape[1]):Y[i, j] = (X[i: i + h, j: j + w] * K).sum()return Y

X = torch.tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
K = torch.tensor([[0, 1], [2, 3]])
corr2d(X, K)

tensor([[19., 25.],[37., 43.]])

二维卷积层

二维卷积层将输入和卷积核做互相关运算，并加上一个标量偏差来得到输出。卷积层的模型参数包括了卷积核和标量偏差。在训练模型的时候，通常我们先对卷积核随机初始化，然后不断迭代卷积核和偏差。

下面基于corr2d函数来实现一个自定义的二维卷积层。在构造函数__init__里我们声明weight和bias这两个模型参数。前向计算函数forward则是直接调用corr2d函数再加上偏差。

class Conv2D(nn.Module):def __init__(self, kernel_size):super(Conv2D, self).__init__()self.weight = nn.Parameter(torch.randn(kernel_size))self.bias = nn.Parameter(torch.randn(1))def forward(self, x):return corr2d(x, self.weight) + self.bias
# 卷积窗口形状为p×qp×q的卷积层称为p×qp×q卷积层。
# 同样，p×qp×q卷积或p×qp×q卷积核说明卷积核的高和宽分别为pp和qq。

特征图和感受野

二维卷积层输出的二维数组可以看作是输入在空间维度（宽和高）上某一级的表征，也叫特征图（feature map）。影响元素xx的前向计算的所有可能输入区域（可能大于输入的实际尺寸）叫做xx的感受野（receptive field）。以下图为例，输入中阴影部分的四个元素是输出中阴影部分元素的感受野。我们将图中形状为2×22×2的输出记为YY，并考虑一个更深的卷积神经网络：将YY与另一个形状为2×22×2的核数组做互相关运算，输出单个元素zz。那么，zz在YY上的感受野包括YY的全部四个元素，在输入上的感受野包括其中全部9个元素。可见，我们可以通过更深的卷积神经网络使特征图中单个元素的感受野变得更加广阔，从而捕捉输入上更大尺寸的特征。

我们常使用“元素”一词来描述数组或矩阵中的成员。在神经网络的术语中，这些元素也可称为“单元”。

填充

填充（padding）是指在输入高和宽的两侧填充元素（通常是0元素）。下图里我们在原输入高和宽的两侧分别添加了值为0的元素，使得输入高和宽从3变成了5，并导致输出高和宽由2增加到4。图中的阴影部分为第一个输出元素及其计算所使用的输入和核数组元素：0×0+0×1+0×2+0×3=00×0+0×1+0×2+0×3=0。

一般来说，如果在高的两侧一共填充php_hph 行，在宽的两侧一共填充pwp_wpw 列，那么输出形状将会是

(nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1)(n_h - k_h + p_h + 1)\times(n_w - k_w + p_w + 1)(nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1)

也就是说，输出的高和宽会分别增加php_hph和pwp_wpw 。

卷积神经网络经常使用奇数高宽的卷积核，如1、3、5和7，所以两端上的填充个数相等。对任意的二维数组X，设它的第i行第j列的元素为X[i,j]。当两端上的填充个数相等，并使输入和输出具有相同的高和宽时，我们就知道输出Y[i,j]是由输入以X[i,j]为中心的窗口同卷积核进行互相关计算得到的。

下面的例子里我们创建一个高和宽为3的二维卷积层，然后设输入高和宽两侧的填充数分别为1。给定一个高和宽为8的输入，我们发现输出的高和宽也是8。

import torch
from torch import nn# 定义一个函数来计算卷积层。它对输入和输出做相应的升维和降维
def comp_conv2d(conv2d, X):# (1, 1)代表批量大小和通道数（“多输入通道和多输出通道”一节将介绍）均为1X = X.view((1, 1) + X.shape)Y = conv2d(X)return Y.view(Y.shape[2:])  # 排除不关心的前两维：批量和通道# 注意这里是两侧分别填充1行或列，所以在两侧一共填充2行或列
conv2d = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=3, padding=1)X = torch.rand(8, 8)
comp_conv2d(conv2d, X).shape

torch.Size([8, 8])

当卷积核的高和宽不同时，我们也可以通过设置高和宽上不同的填充数使输出和输入具有相同的高和宽。

# 使用高为5、宽为3的卷积核。在高和宽两侧的填充数分别为2和1
conv2d = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

torch.Size([8, 8])

步幅

我们介绍了卷积运算。卷积窗口从输入数组的最左上方开始，按从左往右、从上往下的顺序，依次在输入数组上滑动。我们将每次滑动的行数和列数称为步幅（stride）。

目前我们看到的例子里，在高和宽两个方向上步幅均为1。我们也可以使用更大步幅。下图展示了在高上步幅为3、在宽上步幅为2的二维互相关运算。可以看到，输出第一列第二个元素时，卷积窗口向下滑动了3行，而在输出第一行第二个元素时卷积窗口向右滑动了2列。当卷积窗口在输入上再向右滑动2列时，由于输入元素无法填满窗口，无结果输出。图中的阴影部分为输出元素及其计算所使用的输入和核数组元素：0×0+0×1+1×2+2×3=80×0+0×1+1×2+2×3=8、0×0+6×1+0×2+0×3=60×0+6×1+0×2+0×3=6。

一般来说，当高上步幅为shs_hsh，宽上步幅为sws_wsw时，输出形状为
[(nh−kh+ph+sh)sh]×[(nw−kw+pw+sw)sw]\left[ \frac{(n_h - k_h + p_h + s_h)}{s_h} \right] \times \left[ \frac{(n_w - k_w + p_w + s_w)}{s_w} \right][sh(nh−kh+ph+sh)]×[sw(nw−kw+pw+sw)]
下面我们令高和宽上的步幅均为2，从而使输入的高和宽减半。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape

torch.Size([4, 4])

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

torch.Size([2, 2])

小结

一般来说，当卷积核的形状为(kh×kw)(k_h \times k_w)(kh×kw)时，输出的形状为
(nh−kh+1)×(nk−kh+1)(n_h - k_h + 1)\times(n_k - k_h + 1)(nh−kh+1)×(nk−kh+1)
如果在高的两侧一共填充php_hph 行，在宽的两侧一共填充pwp_wpw 列，那么输出形状将会是

(nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1)(n_h - k_h + p_h + 1)\times(n_w - k_w + p_w + 1)(nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1)

也就是说，输出的高和宽会分别增加php_hph和pwp_wpw 。
当高上步幅为shs_hsh，宽上步幅为sws_wsw时，输出形状为
[(nh−kh+ph+sh)sh]×[(nw−kw+pw+sw)sw]\left[ \frac{(n_h - k_h + p_h + s_h)}{s_h} \right] \times \left[ \frac{(n_w - k_w + p_w + s_w)}{s_w} \right][sh(nh−kh+ph+sh)]×[sw(nw−kw+pw+sw)]
池化部分较为简单，和卷积原理类似。主要为最大池化层和平均池化层，为的是缓解卷积后导致的敏感性

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